電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2024年8月実施 必須問題（数学）問2

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• Matrix-Inverse
• Matrix-Rank
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. 次の行列 $A$ の逆行列を求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}3&1&2\\5&1&3\\2&3&2\end{pmatrix}.$$

2. 自然数 $k$ に対し、次の行列 $B$ の階数が $4$ 未満となる $k$ を求めよ。

$$B=\begin{pmatrix} 1&0&3&0\\ 3&1&k&0\\ -1&1&-2&1\\ 1&-1&2&-2 \end{pmatrix}.$$

3. 対称行列

$$C=\begin{pmatrix}1&a&-1\\a&a&a\\-1&a&1\end{pmatrix}$$

が固有値 $-2,2$ をもつとき、自然数 $a$、すべての固有ベクトルを求めよ。固有ベクトルの直交性を確かめ、正規化した固有ベクトルから直交行列を作れ。

题目描述

计算三阶矩阵的逆矩阵、使四阶矩阵降秩的自然数参数，并对带参数的实对称矩阵求参数、特征向量和正交对角化矩阵。

Kai

(1)

$\det A=1$ であり、掃き出し法より

$$\boxed{ A^{-1}=\begin{pmatrix} -7&4&1\\ -4&2&1\\ 13&-7&-2 \end{pmatrix}}$$

を得る。

(2)

$$\det B=k-10.$$

したがって、$\operatorname{rank}B<4$ となるのは

$$\boxed{k=10}$$

である。

(3)

任意の $a$ に対して $(1,0,-1)^T$ は固有値 $2$ の固有ベクトルである。また、残りの固有値は $2a,-a$ であるから、固有値 $-2$ をもつためには

$$\boxed{a=2}$$

でなければならない。このとき、固有値と対応する固有ベクトルは

$$\begin{array}{c|c} \lambda&\text{固有ベクトル}\\ \hline -2&(1,-1,1)^T\\ 2&(1,0,-1)^T\\ 4&(1,2,1)^T \end{array}$$

である。これらの内積はすべて $0$ である。よって、例えば

$$\boxed{ Q=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ -\frac1{\sqrt3}&0&\frac2{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6} \end{pmatrix}}$$

は直交行列であり、

$$Q^TCQ=\operatorname{diag}(-2,2,4)$$

となる。