電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2023年8月実施 選択問題 応用数学

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• Contour-Integration
• Cauchy-Riemann-Equations
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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

問1. $f(z)=\alpha z+\beta$ $(\alpha,\beta\in\mathbb R)$ とする。

1. $z_0$ を中心とする半径 $r>0$ の円周 $C_0$ を正方向に一周するとき、$I_0=\oint_{C_0}(z-z_0)^{-1}\,dz$ を求めよ。
2. 原点中心・半径 $2$ の円周 $C_2$ を正方向に一周するとき、
   $$\frac1{2\pi i}\oint_{C_2}\frac{f(z)}z\,dz=1,\qquad \frac1{2\pi i}\oint_{C_2}\frac{f(z)}{z-1}\,dz=3$$
   を満たす $\alpha,\beta$ を求めよ。
3. $a\in\mathbb C$ に対し、$C_a:z(t)=t+ia\sin(\pi t)$ $(0\le t\le1)$ に沿う $I(a)=\int_{C_a}f(z)\,dz$ を求めよ。

問2. $z=x+iy$ とする。正則関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ の Jacobian が $|f'(z)|^2$ であることを示せ。さらに、

$$w=i\frac{1-z}{1+z}$$

による単位円内部の像と Jacobian を求めよ。

题目描述

用 Cauchy 积分公式确定一次复函数并计算路径积分；证明全纯映射的 Jacobian 公式，再研究将单位圆盘映至上半平面的分式线性变换。

Kai

問1

(1)

$z-z_0=re^{i\theta}$ とおけば、

$$I_0=\int_0^{2\pi}\frac{ire^{i\theta}}{re^{i\theta}}\,d\theta =\boxed{2\pi i}.$$

(2)

Cauchy の積分公式より、二つの条件は

$$f(0)=1,\qquad f(1)=3$$

である。したがって、

$$\boxed{\alpha=2,\qquad\beta=1}, \qquad f(z)=2z+1.$$

(3)

$F(z)=z^2+z$ は $f$ の原始関数である。曲線 $C_a$ の始点と終点はそれぞれ $0,1$ であるから、

$$\boxed{I(a)=F(1)-F(0)=2}.$$

問2

(1)

Cauchy--Riemann の関係 $u_x=v_y,\ u_y=-v_x$ より、

$$\begin{aligned} J &=u_xv_y-u_yv_x\\ &=u_x^2+u_y^2 =\boxed{|f'(z)|^2}. \end{aligned}$$

(2)

分母を実数化すると、

$$w= \frac{2y+i(1-x^2-y^2)} {(1+x)^2+y^2}.$$

$|z|<1$ ならば

$$\operatorname{Im}w =\frac{1-x^2-y^2}{(1+x)^2+y^2}>0,$$

ゆえに像は上半平面に含まれる。逆変換

$$z=\frac{i-w}{i+w}$$

により上半平面の各点は $|z|<1$ に対応するので、像は上半平面全体である。

また、

$$f'(z)=-\frac{2i}{(1+z)^2}$$

より、

$$\boxed{ J=|f'(z)|^2 =\frac{4}{\bigl((1+x)^2+y^2\bigr)^2}}.$$