電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2023年8月実施 必須問題（数学）問2

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• University-of-Electro-Communications
• Matrix-Inverse
• Kernel-and-Image
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

二つの行列の逆行列、行列

$$C=\begin{pmatrix}13&13&5\\-5&-5&-2\\-2&-2&-1\end{pmatrix}$$

が定める線形写像の核と像を求めよ。また、対角成分が $3$、非対角成分が $a$ の対称行列 $D$ が固有値 $1$（重解）、$7$ をもつとき、$a$ と固有ベクトルを求め、$D$ を対角化せよ。

题目描述

求两个矩阵的逆矩阵、给定线性映射的核与像，并由特征值确定参数后将实对称矩阵正交对角化。

Kai

(1)

直接計算して、

$$\boxed{ A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&5\\2&-9\end{pmatrix}}, \qquad \boxed{ B^{-1}= \begin{pmatrix} 9&-8&8\\ 1&-1&1\\ -20&18&-17 \end{pmatrix}}.$$

(2)

行基本変形により、

$$C\sim \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

したがって、

$$\boxed{\ker C=\operatorname{span} \left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\right\}, \quad \dim\ker C=1}$$

である。また、元の行列の第 1、第 3 列を取れば、

$$\boxed{\operatorname{Im}C=\operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix}13\\-5\\-2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5\\-2\\-1\end{pmatrix} \right\}, \quad \dim\operatorname{Im}C=2}.$$

(3)

$D$ の固有値は

$$3-a\quad(\text{重複度 }2),\qquad 3+2a$$

である。よって、

$$\boxed{a=2}.$$

$\lambda=1$ の固有空間は $x+y+z=0$、$\lambda=7$ の固有空間は $\operatorname{span}\{(1,1,1)^{\mathsf T}\}$ である。例えば、

$$P= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\ -\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\ 0&-\frac2{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3} \end{pmatrix}$$

とおけば $P$ は直交行列であり、

$$\boxed{P^{-1}DP=P^{\mathsf T}DP =\operatorname{diag}(1,1,7)}$$

となる。