電気通信大学情報理工学研究科機械知能システム学専攻 2023年8月実施必須問題（数学）問2

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

行列

A=\begin{pmatrix}9&5\\2&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&-8&0\\3&-7&1\\2&2&1\end{pmatrix}

の逆行列、および行列

C=\begin{pmatrix}13&13&5\\-5&-5&-2\\-2&-2&-1\end{pmatrix}

が定める線形写像の核と像の基底・次元を求めよ。また、 $3$ 次の対称行列 $D$ の対角成分が $3$ 、非対角成分が $a$ であり、固有値 $1$ （重解）、 $7$ をもつとき、 $a$ と固有ベクトルを求め、 $D$ を対角化せよ。

求两个矩阵的逆矩阵、给定线性映射的核与像，并由特征值确定参数后将实对称矩阵正交对角化。

直接計算して、

\boxed{ A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&5\\2&-9\end{pmatrix}}, \qquad \boxed{ B^{-1}= \begin{pmatrix} 9&-8&8\\ 1&-1&1\\ -20&18&-17 \end{pmatrix}}.

行基本変形により、

C\sim \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.

したがって、

\boxed{\ker C=\operatorname{span} \left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\right\}, \quad \dim\ker C=1}

である。また、元の行列の第 1、第 3 列を取れば、

\boxed{\operatorname{Im}C=\operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix}13\\-5\\-2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5\\-2\\-1\end{pmatrix} \right\}, \quad \dim\operatorname{Im}C=2}.

$D$ の固有値は

3-a\quad(\text{重複度 }2),\qquad 3+2a

である。よって、

\boxed{a=2}.

$\lambda=1$ の固有空間は $x+y+z=0$ 、 $\lambda=7$ の固有空間は $\operatorname{span}\{(1,1,1)^{\mathsf T}\}$ である。例えば、

P= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\ -\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\ 0&-\frac2{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3} \end{pmatrix}

とおけば $P$ は直交行列であり、

\boxed{P^{-1}DP=P^{\mathsf T}DP =\operatorname{diag}(1,1,7)}

となる。