電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2023年8月実施 必須問題（数学）問1

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• Double-Integral
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

関数

$$f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4y$$

の極値を調べ、領域

$$D=\{(x,y)\mid x\leq y\leq2x,\ x+y\leq3\}$$

上の $\iint_D(2x-y)\,dx\,dy$ を求めよ。また、

$$f''(x)-4f'(x)+4f(x)=6xe^{2x}$$

の一般解を求めよ。

题目描述

求二元二次函数的极值、三直线所围区域上的二重积分，以及一个常系数二阶微分方程的通解。

Kai

(1)

$$f_x=2x+y,\qquad f_y=x+4y-4$$

より、停留点は

$$(x,y)=\left(-\frac47,\frac87\right)$$

のみである。Hesse 行列

$$H=\begin{pmatrix}2&1\\1&4\end{pmatrix}$$

は正定値であるから、

$$\boxed{\text{極大値なし},\qquad \text{極小値 }-\frac{16}{7}}$$

である。

(2)

領域を $x=1$ で分けると、

$$\begin{aligned} I &=\int_0^1\int_x^{2x}(2x-y)\,dy\,dx +\int_1^{3/2}\int_x^{3-x}(2x-y)\,dy\,dx\\ &=\frac16+\frac5{24} =\boxed{\frac38}. \end{aligned}$$

(3)

$f(x)=e^{2x}u(x)$ とおけば、

$$f''-4f'+4f=e^{2x}u''.$$

したがって $u''=6x$ であり、

$$\boxed{f(x)=e^{2x}(x^3+C_1x+C_2)}$$

を得る。