電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2022年8月実施 選択問題 8 応用数学

标签：

• 电气通信大学
• 调和函数与共轭调和函数
• 柯西–黎曼方程
• 围道积分
• 留数定理
• 曲线积分
• 傅里叶变换

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. $u(x,y)=2x^2-2y^2-2xy$ を実部とし、$f(0)=i$ を満たす正則関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ を考える。$u$ が調和関数であることを確かめ、$v(x,y)$ と $f(z)$ を求めよ。
2. 原点中心、半径 $2$ の円を反時計回りに一周する閉曲線 $C$ に対し、
   $$\oint_C\frac{\cos z}{z^2+2zi+3}\,dz$$
   を求めよ。
3. $r(t)=(\cos t,\sin t,2t)$ 上で、$(1,0,0)$ から $(0,-1,3\pi)$ までのベクトル場
   $$\boldsymbol v=(x^2z-yz)\boldsymbol i+xyz\boldsymbol j +\frac12x^2z\boldsymbol k$$
   の線積分を求めよ。
4. 定義
   $$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$
   のもとで、$e^{-|t|}$ と $1/(t^2+1)$ の Fourier 変換を求めよ。

题目描述

求给定实部的解析函数；用留数定理计算圆周积分；计算参数曲线上的向量场线积分；最后在指定约定下求两个函数的 Fourier 变换。

Kai

1.

(1)

$$u_{xx}+u_{yy}=4-4=0$$

より、$u$ は調和関数である。

(2)

Cauchy--Riemann の関係より

$$v_x=-u_y=2x+4y,\qquad v_y=u_x=4x-2y.$$

したがって

$$v(x,y)=x^2+4xy-y^2+C.$$

$f(0)=i$ より $C=1$ であるから、

$$\boxed{v(x,y)=x^2+4xy-y^2+1}.$$

(3)

実部と虚部をまとめると、

$$\boxed{f(z)=(2+i)z^2+i}.$$

2.

$$z^2+2zi+3=(z-i)(z+3i).$$

$C$ の内部にある極は $z=i$ のみである。その留数は

$$\operatorname*{Res}_{z=i} \frac{\cos z}{(z-i)(z+3i)} =\frac{\cos i}{4i} =\frac{\cosh1}{4i}.$$

よって留数定理より

$$\boxed{ \oint_C\frac{\cos z}{z^2+2zi+3}\,dz =\frac{\pi}{2}\cosh1 }.$$

3.

始点と終点に対応する媒介変数は $t=0$, $3\pi/2$ である。$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \boldsymbol v\mathbin{\cdot}d\boldsymbol r &=\{2t(\cos^2t-\sin t)\}(-\sin t)\,dt\\ &\quad +(2t\cos t\sin t)\cos t\,dt +(t\cos^2t)\,2\,dt\\ &=2t\,dt. \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{ \int_C\boldsymbol v\mathbin{\cdot}d\boldsymbol r =\int_0^{3\pi/2}2t\,dt =\frac{9\pi^2}{4} }.$$

4.

(1)

$$\begin{aligned} F(\omega) &=\int_0^\infty e^{-(1+i\omega)t}\,dt +\int_{-\infty}^0e^{(1-i\omega)t}\,dt\\ &=\boxed{\frac{2}{1+\omega^2}}. \end{aligned}$$

(2)

Fourier 変換の双対性を (1) に適用すると、

$$\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i\omega t}}{1+t^2}\,dt =\pi e^{-|\omega|} }.$$