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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2022年8月実施 必須問題（数学）問2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

以下の設問に答えよ。

（1） Rn\mathbb R^n を nn 次元の実数空間とし、線形写像 F:R4→R3F:\mathbb R^4\to\mathbb R^3 が次式で定義されている。

F:[xyzw]↦[3−25−7−1−10−11−12−3][xyzw]F:\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}3&-2&5&-7\\-1&-1&0&-1\\1&-1&2&-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}

線形写像 FF の核 Ker⁡F\operatorname{Ker}F の次元の数を答えよ。さらに、線形写像 FF の像 Im⁡F\operatorname{Im}F の基底を 1 組求めよ。なお、基底はそれぞれ大きさを 1 に正規化したものとすること。

（2） 次の x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 に関する連立 1 次方程式が一意解をもつとき、定数 aa が満たすべき条件と、そのときの解 x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 を求めよ。

{x1−x2+x3=2,−x1+2x2+x3=2,x2+ax3=1,−x1+x2=a.\begin{cases} x_1-x_2+x_3=2,\\ -x_1+2x_2+x_3=2,\\ x_2+ax_3=1,\\ -x_1+x_2=a. \end{cases}

（3） 定数 a11,a12,a21,a22a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} によって次式のように行列 AA が定義されている。

A=[a11a12a21a22]A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}

行列 AA の固有値は k1,k2k_1,k_2 であり、k1≠k2k_1\ne k_2 とし、それぞれの固有値に対応する固有ベクトル v1,v2v_1,v_2 は任意定数 tt を用いて次式で与えられるとする。

v1=[13]t,v2=[3b]tv_1=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}t, \qquad v_2=\begin{bmatrix}3\\b\end{bmatrix}t

このとき、行列 AA が対角化可能であるための条件式を求めよ。また、行列 AA を対角化することで得られる行列を BB とし、行列 BB の対角要素が k1,k2k_1,k_2 となる場合について、対角化に用いる正則行列 PP を求め、行列 AA と行列 BB の関係を PP を用いて表現せよ。

キーワード：次元 dimension、実数空間 real space、線形写像 linear mapping、定義 definition、核 kernel、像 image、基底 basis、正規化 normalization、連立 1 次方程式 simultaneous linear equations、一意解 unique solution、定数 constant、条件 condition、解 solution、行列 matrix、固有値 eigenvalue、固有ベクトル eigenvector、任意定数 arbitrary constant、対角化可能 diagonalizable、対角化 diagonalization、対角要素 diagonal element、正則行列 regular matrix。

题目描述​

回答下列问题。

（1） 设 Rn\mathbb R^n 为 nn 维实空间，线性映射 F:R4→R3F:\mathbb R^4\to\mathbb R^3 定义为

F:[xyzw]↦[3−25−7−1−10−11−12−3][xyzw].F:\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}3&-2&5&-7\\-1&-1&0&-1\\1&-1&2&-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}.

回答 FF 的核 Ker⁡F\operatorname{Ker}F 的维数，并求像 Im⁡F\operatorname{Im}F 的一组基。每个基向量都须归一化为长度 1。

（2） 若下列关于 x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 的线性方程组有唯一解，求常数 aa 应满足的条件，以及此时的解 x1,x2,x3x_1,x_2,x_3。

{x1−x2+x3=2,−x1+2x2+x3=2,x2+ax3=1,−x1+x2=a.\begin{cases} x_1-x_2+x_3=2,\\ -x_1+2x_2+x_3=2,\\ x_2+ax_3=1,\\ -x_1+x_2=a. \end{cases}

（3） 由常数 a11,a12,a21,a22a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} 定义矩阵

A=[a11a12a21a22].A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}.

设 AA 的特征值为 k1,k2k_1,k_2，且 k1≠k2k_1\ne k_2，对应的特征向量用任意常数 tt 表示为

v1=[13]t,v2=[3b]t.v_1=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}t, \qquad v_2=\begin{bmatrix}3\\b\end{bmatrix}t.

求矩阵 AA 可对角化的条件式。再设 AA 对角化后得到的矩阵为 BB，其对角元素依次为 k1,k2k_1,k_2，求对角化所用的可逆矩阵 PP，并用 PP 表示 AA 与 BB 的关系。

Kai​

(1)​

MM の第 jj 列を mjm_j とすると、

m3=m1−m2,m4=m2−m3.m_3=m_1-m_2,\qquad m_4=m_2-m_3.

m1,m2m_1,m_2 は一次独立なので rank⁡M=2\operatorname{rank}M=2 である。階数・退化次数定理より

dim⁡ker⁡F=4−2=2.\boxed{\dim\ker F=4-2=2}.

また、∥m1∥=11\lVert m_1\rVert=\sqrt{11}, ∥m2∥=6\lVert m_2\rVert=\sqrt6 であるから、

{111(3−11),16(−2−1−1)}\boxed{ \left\{ \frac1{\sqrt{11}}\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}, \frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix} \right\} }

は Im⁡F\operatorname{Im}F の正規化された基底である。

(2)​

第 44 式と第 33 式より

x1=x2−a,x2=1−ax3.x_1=x_2-a,\qquad x_2=1-ax_3.

これを第 11 式に代入すると x3=a+2x_3=a+2 となる。さらに第 22 式へ代入すると

3−a2=2.3-a^2=2.

したがって、一意解をもつための条件は

a=±1.\boxed{a=\pm1}.

それぞれの解は

ax1x2x31−3−23−1321.\boxed{ \begin{array}{c|ccc} a&x_1&x_2&x_3\\ \hline 1&-3&-2&3\\ -1&3&2&1 \end{array} }.

(3)​

二本の固有ベクトルを列にもつ行列を

P=(133b)P=\begin{pmatrix}1&3\\3&b\end{pmatrix}

とおくと、

det⁡P=b−9.\det P=b-9.

したがって対角化の条件は

b≠9.\boxed{b\ne9}.

このとき

B=(k100k2)B=\begin{pmatrix}k_1&0\\0&k_2\end{pmatrix}

とおけば AP=PBAP=PB であり、

P−1AP=B,A=PBP−1.\boxed{P^{-1}AP=B}, \qquad \boxed{A=PBP^{-1}}.

Reference​

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