電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2022年8月実施 必須問題（数学）問2

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Linear-Transformation
• Kernel-and-Image
• Basis-and-Dimension
• Systems-of-Linear-Equations
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

次の問いに答えよ。

1. 行列
   $$M=\begin{pmatrix} 3&-2&5&-7\\ -1&-1&0&-1\\ 1&-1&2&-3 \end{pmatrix}$$
   が定める線形写像 $F:\mathbb R^4\to\mathbb R^3$ について、$\dim\ker F$ と、各ベクトルを長さ $1$ に正規化した $\operatorname{Im}F$ の基底を求めよ。
2. 四本の連立一次方程式が一意解をもつための実数 $a$ の条件と、その解を求めよ。
3. 相異なる固有値 $k_1,k_2$ に対する固有ベクトルが $(1,3)^{\mathsf T}$、$(3,b)^{\mathsf T}$ の定数倍で与えられるとき、対角化の条件、正則行列 $P$、および $A$ と対角行列 $B$ の関係を求めよ。

题目描述

求给定线性映射的核维数和像空间的一组单位化基；求含参数超定线性方程组具有唯一解的条件与解；最后根据两条特征向量求矩阵可对角化的条件及对角化关系。

Kai

(1)

$M$ の第 $j$ 列を $m_j$ とすると、

$$m_3=m_1-m_2,\qquad m_4=m_2-m_3.$$

$m_1,m_2$ は一次独立なので $\operatorname{rank}M=2$ である。階数・退化次数定理より

$$\boxed{\dim\ker F=4-2=2}.$$

また、$\lVert m_1\rVert=\sqrt{11}$, $\lVert m_2\rVert=\sqrt6$ であるから、

$$\boxed{ \left\{ \frac1{\sqrt{11}}\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}, \frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix} \right\} }$$

は $\operatorname{Im}F$ の正規化された基底である。

(2)

第 $4$ 式と第 $3$ 式より

$$x_1=x_2-a,\qquad x_2=1-ax_3.$$

これを第 $1$ 式に代入すると $x_3=a+2$ となる。さらに第 $2$ 式へ代入すると

$$3-a^2=2.$$

したがって、一意解をもつための条件は

$$\boxed{a=\pm1}.$$

それぞれの解は

$$\boxed{ \begin{array}{c|ccc} a&x_1&x_2&x_3\\ \hline 1&-3&-2&3\\ -1&3&2&1 \end{array} }.$$

(3)

二本の固有ベクトルを列にもつ行列を

$$P=\begin{pmatrix}1&3\\3&b\end{pmatrix}$$

とおくと、

$$\det P=b-9.$$

したがって対角化の条件は

$$\boxed{b\ne9}.$$

このとき

$$B=\begin{pmatrix}k_1&0\\0&k_2\end{pmatrix}$$

とおけば $AP=PB$ であり、

$$\boxed{P^{-1}AP=B}, \qquad \boxed{A=PBP^{-1}}.$$