電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2022年8月実施 必須問題（数学）問1

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Parametric-Differentiation
• Double-Integral
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Resonant-Forcing

Author

Miyake

Description

题目描述

回答下列三个问题：

1. 在极坐标中给定曲线 $r=a\theta$（$a$ 为常数），并令
   $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.$$
   求该曲线在 $\theta=\pi/2$ 处切线的斜率。
2. 对区域
   $$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le1\},$$
   计算二重积分
   $$\iint_D xe^{y^3}\,dx\,dy.$$
3. 求二阶线性常微分方程
   $$\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+4y=e^{2x}$$
   的通解。

考点

• 参数曲线求导：将极坐标曲线参数化为 $x(\theta),y(\theta)$，利用 $dy/dx=(dy/d\theta)/(dx/d\theta)$ 求指定点的切线斜率。
• 二重积分：把三角形区域写成适当的累次积分次序，并通过先对 $x$ 积分和变量代换计算积分值。
• 二阶常系数线性微分方程：求重根齐次方程的通解，并针对与齐次解共振的指数型右端选取带足够 $x$ 次幂的特解。

Kai

(1)

$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{dx}{d \theta} &= \frac{dr}{d \theta} \cos \theta - r \sin \theta \\ &= a \cos \theta - r \sin \theta \\ \frac{dy}{d \theta} &= \frac{dr}{d \theta} \sin \theta + r \cos \theta \\ &= a \sin \theta + r \cos \theta \end{aligned}$$

であり、$\theta = \pi/2$ のとき

$$\begin{aligned} r &= \frac{\pi a}{2} \\ \frac{dx}{d \theta} &= - \frac{\pi a}{2} \\ \frac{dy}{d \theta} &= a \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{d \theta}}{\frac{dy}{d \theta}} = - \frac{2}{\pi} \end{aligned}$$

である。よって、求める接線の傾きは $-2/\pi$ である。

(2)

$$\begin{aligned} \iint_D x e^{y^3} dx dy &= \int_0^1 dy e^{y^3} \int_0^y dx x \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 dy e^{y^3} y^2 \\ &= \frac{1}{6} \int_0^1 dz e^z \ \ \ \ \ \ \ \ (z = y^3) \\ &= \frac{1}{6} \left[ e^z \right]_0^1 \\ &= \frac{e-1}{6} \end{aligned}$$

(3)

まず、

$$\begin{align} \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0 \tag{a} \end{align}$$

に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると、

$$\begin{aligned} (\lambda-2)^2 &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= 2 \end{aligned}$$

となるので、微分方程式 ($a$) の一般解は

$$\begin{aligned} y = Ae^{2x} + Bxe^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{($A,B$ は任意定数)} \end{aligned}$$

である。

また、与えられた微分方程式に $y=C x^2 e^{2x}$ （ $C$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 $C=1/2$ を得るので、 $y=(1/2)x^2e^{2x}$ は特殊解である。 以上より、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = Ae^{2x} + Bxe^{2x} + \frac{1}{2} x^2 e^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{($A,B$ は任意定数)} \end{aligned}$$

である。