電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2021年8月実施 選択問題 応用数学

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• 电气通信大学
• 围道积分
• 洛朗级数
• 保角映射

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. $b>0$ に対して
   $$I(a,b)=\frac1{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iax}}{x-ib}\,dx$$
   を $a>0,a=0,a<0$ に分けて求めよ。ただし $a=0$ の積分は $\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R$ で定義する。$\theta(a)=\lim_{b\to0+}I(a,b)$ のグラフを示し、その導関数を考察せよ。
2. $z=e^{i\theta}$ $(0\le\theta<2\pi)$ に対して $\sin\theta=(z-\bar z)/(2i)$ を示せ。さらに、実数 $\alpha$ に対し
   $$\exp\left\{\frac{\alpha}{2}\left(z-\frac1z\right)\right\} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(\alpha)z^n$$
   から $J_n(\alpha)$ の実積分表示を導け。
3. Joukowski 変換 $w=z+a^2/z$ $(a>0)$ が、原点中心・半径 $c>a$ の円を楕円へ、原点を端点とする半直線 $z=re^{i\theta_0}$ $(r>0,\ 0\le\theta_0<2\pi)$ を双曲線へ写すことを示せ。

题目描述

用围道积分导出阶跃函数及其广义导数；由 Laurent 系数得到 Bessel 函数的积分表示；最后研究 Joukowski 变换下圆和射线的像。

Kai

問1

(1)

$a>0$ では上半平面に閉じると極 $z=ib$ を囲むので、

$$I(a,b)=\operatorname*{Res}_{z=ib} \frac{e^{iaz}}{z-ib}=e^{-ab}.$$

$a<0$ では下半平面に閉じ、極を囲まないので $I(a,b)=0$ である。 $a=0$ では対称積分の定義より、

$$\frac1{2\pi i}\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R}\frac{dx}{x-ib} =\frac12.$$

したがって、

$$\boxed{ I(a,b)= \begin{cases} e^{-ab},&a>0,\\ \frac12,&a=0,\\ 0,&a<0. \end{cases}}$$

(2)

$$\boxed{ \theta(a)= \begin{cases} 1,&a>0,\\ \frac12,&a=0,\\ 0,&a<0 \end{cases}}$$

であり、グラフは次のとおりである。

これは Heaviside の階段関数である。通常の意味では $a=0$ で微分不可能であり、超関数の意味では

$$\boxed{\theta'(a)=\delta(a)}$$

となる。

問2

(1)

$z=e^{i\theta}$ ならば $\bar z=e^{-i\theta}$ であるから、

$$\boxed{\sin\theta=\frac{z-\bar z}{2i}}.$$

(2)

Laurent 係数の公式と $z=e^{i\theta}$ より、

$$\begin{aligned} J_n(\alpha) &=\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1} \exp\left\{\frac{\alpha}{2}\left(z-\frac1z\right)\right\} \frac{dz}{z^{n+1}}\\ &=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{i(\alpha\sin\theta-n\theta)}\,d\theta. \end{aligned}$$

$\theta$ と $2\pi-\theta$ の項を組にすると虚部が消える。したがって、

$$\boxed{ J_n(\alpha)=\frac1\pi\int_0^\pi \cos(n\theta-\alpha\sin\theta)\,d\theta}.$$

問3

(1)

$z=ce^{i\theta}$ $(c>a)$ とおくと、

$$w=\left(c+\frac{a^2}{c}\right)\cos\theta +i\left(c-\frac{a^2}{c}\right)\sin\theta.$$

$w=u+iv$ と書けば、

$$\boxed{ \frac{u^2}{(c+a^2/c)^2} +\frac{v^2}{(c-a^2/c)^2}=1},$$

ゆえに像は楕円である。

(2)

$z=re^{i\theta_0}$ $(r>0)$ とおくと、

$$u=\left(r+\frac{a^2}{r}\right)\cos\theta_0,\qquad v=\left(r-\frac{a^2}{r}\right)\sin\theta_0.$$

$\sin\theta_0\cos\theta_0\ne0$ のとき消去して、

$$\boxed{ \frac{u^2}{\cos^2\theta_0} -\frac{v^2}{\sin^2\theta_0}=4a^2},$$

すなわち $u$ の符号が $\cos\theta_0$ と一致する双曲線の一枝を得る。$\sin\theta_0=0$ では実軸上の半直線 $u\ge2a$ または $u\le-2a$、$\cos\theta_0=0$ では虚軸全体に退化する。