電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2021年8月実施 必須問題（数学）問2

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• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$P=\begin{pmatrix}0&2a^2&3a^3\\0&0&2a^2\\0&0&0\end{pmatrix}, \qquad Q=\begin{pmatrix}a&2a^2&3a^3\\0&a&2a^2\\0&0&a\end{pmatrix}$$

について $P^n,Q^n$ $(n\ge3)$ を求めよ。さらに、連立一次方程式

$$\begin{cases} x-2y+z=0,\\ -4x+ay-6z=1,\\ x-3y+3z=b \end{cases}$$

が無数の解をもつ条件を求め、対称行列

$$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\-1&-1&0\end{pmatrix}$$

を直交行列で対角化せよ。

题目描述

求两个上三角矩阵的高次幂、线性方程组有无穷多解时的参数，并将给定实对称矩阵正交对角化。

Kai

(1)

$P^3=O$ より、

$$\boxed{P^n=O\qquad(n\ge3)}.$$

$Q=aE+P$ かつ $P^3=O$ なので、二項定理より

$$Q^n=a^nE+na^{n-1}P+\binom n2a^{n-2}P^2.$$

したがって、

$$\boxed{ Q^n= \begin{pmatrix} a^n&2na^{n+1}&n(2n+1)a^{n+2}\\ 0&a^n&2na^{n+1}\\ 0&0&a^n \end{pmatrix}}.$$

(2)

第 2 式に第 1 式の $4$ 倍を加え、第 3 式から第 1 式を引くと、

$$\begin{cases} (a-8)y-2z=1,\\ -y+2z=b. \end{cases}$$

無数の解をもつには左辺が互いに反対で、右辺も反対でなければならない。よって、

$$\boxed{a=9,\qquad b=-1}.$$

(3)

$A$ の固有値は $2,1,-1$ であり、対応する固有ベクトルとして

$$\begin{array}{c|c} \lambda&\text{固有ベクトル}\\ \hline 2&(1,1,-1)^{\mathsf T}\\ 1&(1,-1,0)^{\mathsf T}\\ -1&(1,1,2)^{\mathsf T} \end{array}$$

を取れる。したがって $a>b>c$ は

$$\boxed{a=2,\qquad b=1,\qquad c=-1}$$

である。また、

$$P= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ -\frac1{\sqrt3}&0&\frac2{\sqrt6} \end{pmatrix}$$

とおけば、

$$\boxed{P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(2,1,-1)}.$$