電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2021年8月実施 必須問題（数学）問1

标签：

• 电气通信大学
• 二重积分
• 变量代换与雅可比行列式
• 伯努利方程
• 二阶线性常微分方程

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

領域

$$D=\{(x,y)\mid1\le x+y\le2,\ 0\le x-y\le1\}$$

上の

$$\iint_D\frac{\tan^{-1}(x-y)}{x+y}\,dx\,dy$$

を求めよ。また、次の微分方程式の一般解を求めよ。

$$\text{(i) }\frac{dy}{dx}-y=xy^2, \qquad \text{(ii) }y''-2y'+y=e^x\cos x.$$

题目描述

通过线性变量代换计算二重积分，并求一个 Bernoulli 方程和一个常系数二阶方程的通解。

Kai

(1)

$u=x+y,\ v=x-y$ とおくと $dx\,dy=\frac12\,du\,dv$ である。したがって、

$$\begin{aligned} I &=\frac12\int_1^2\frac{du}{u}\int_0^1\tan^{-1}v\,dv\\ &=\frac12\log2\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\log2\right)\\ &=\boxed{\frac{\pi\log2}{8}-\frac{(\log2)^2}{4}}. \end{aligned}$$

(2)

(i)

$y\ne0$ とし、$z=1/y$ とおくと、

$$z'+z=-x.$$

ゆえに $z=Ce^{-x}-x+1$ であり、

$$\boxed{y=\frac1{Ce^{-x}-x+1}}.$$

なお、$\boxed{y=0}$ も解である。

(ii)

$y=e^xu$ とおくと $y''-2y'+y=e^xu''$ となる。よって $u''=\cos x$ から、

$$\boxed{y=e^x(C_1x+C_2-\cos x)}$$

を得る。