跳到主要内容

電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 選択問題7 ディジタル信号処理

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

問1​

インパルス応答が

h[n]=(16)n−1−(12)n−1(n=1,2,…),h[0]=0h[n]=\left(\frac16\right)^{n-1}-\left(\frac12\right)^{n-1}\quad(n=1,2,\ldots), \qquad h[0]=0

である因果的な線形時不変システムを考える。

  1. 有限入力有限出力安定であるか、理由とともに答えよ。
  2. zz 変換により伝達関数 H(z)H(z) を求めよ。
  3. 因果入力 u[n]=(1/6)n (n=0,1,…)u[n]=(1/6)^n\ (n=0,1,\ldots) に対する出力の zz 変換 Y(z)Y(z) を求めよ。
  4. 逆 zz 変換により出力 y[n]y[n] を求めよ。

問2​

連続時間信号 x(t)=cos⁡(4πt+π/2)x(t)=\cos(4\pi t+\pi/2) を、標本化周期 T=1/8T=1/8 sで標本化する。

  1. 標本化周波数 [Hz] を求めよ。
  2. 連続時間信号の周期 [s] を求めよ。
  3. 離散時間信号の周期と正規化角周波数を求めよ。
  4. 離散時間信号の周期を NN、x[n]=x(nT)x[n]=x(nT) とし、1周期の各値 x[n] (n=0,…,N−1)x[n]\ (n=0,\ldots,N-1) を求めよ。
  5. 離散時間フーリエ級数 X[k] (k=0,…,N−1)X[k]\ (k=0,\ldots,N-1) を求めよ。

题目描述​

问1：因果LTI系统的脉冲响应为 h[n]=(1/6)n−1−(1/2)n−1h[n]=(1/6)^{n-1}-(1/2)^{n-1}（n≥1n\ge1），h[0]=0h[0]=0。判断BIBO稳定性，求传递函数，并对因果输入 (1/6)n(1/6)^n 求输出的 zz 变换和时域表达式。问2：以周期 T=1/8T=1/8 s采样 cos⁡(4πt+π/2)\cos(4\pi t+\pi/2)，求采样频率、连续信号周期、离散信号周期和归一化角频率、一个周期的样本以及离散时间傅里叶级数系数。原题未指定傅里叶级数归一化，解答中明确采用的正反变换。

Kai​

問1 (1), (2)​

n≥1n\ge1 では h[n]≤0h[n]\le0 だから

∑n=0∞∣h[n]∣=∑n=1∞[(12)n−1−(16)n−1]=2−65=45<∞.\sum_{n=0}^\infty|h[n]|=\sum_{n=1}^\infty \left[\left(\frac12\right)^{n-1}-\left(\frac16\right)^{n-1}\right] =2-\frac65=\frac45<\infty.

したがってBIBO安定である。また

H(z)=1z−1/6−1z−1/2=−13(z−1/6)(z−1/2),∣z∣>12.\boxed{H(z)=\frac1{z-1/6}-\frac1{z-1/2} =-\frac{1}{3(z-1/6)(z-1/2)},\quad |z|>\frac12}.

問1 (3), (4)​

U(z)=z/(z−1/6)U(z)=z/(z-1/6) なので

Y(z)=−z3(z−1/6)2(z−1/2).\boxed{Y(z)=-\frac{z}{3(z-1/6)^2(z-1/2)}}.

部分分数分解すると

Y(z)=−3zz−1/2+3zz−1/6+z(z−1/6)2.Y(z)=-3\frac z{z-1/2}+3\frac z{z-1/6} +\frac z{(z-1/6)^2}.

z/(z−a)↔anz/(z-a)\leftrightarrow a^n、z/(z−a)2↔nan−1z/(z-a)^2\leftrightarrow na^{n-1} より

y[n]=3(16)n−3(12)n+n(16)n−1(n≥0).\boxed{y[n]=3\left(\frac16\right)^n-3\left(\frac12\right)^n +n\left(\frac16\right)^{n-1}\quad(n\ge0)}.

因果性より n<0n<0 では0。y[0]=y[1]=0,y[2]=−1/3y[0]=y[1]=0,y[2]=-1/3 は直接畳み込みとも一致する。

問2 (1)–(4)​

fs=1/T=8 Hz,T0=2π/(4π)=0.5 s.\boxed{f_s=1/T=8\ \mathrm{Hz}},\qquad \boxed{T_0=2\pi/(4\pi)=0.5\ \mathrm s}.

標本値は x[n]=cos⁡(πn/2+π/2)=−sin⁡(πn/2)x[n]=\cos(\pi n/2+\pi/2)=-\sin(\pi n/2)。したがって

N=4,Ω=π2 rad/sample,(x[0],x[1],x[2],x[3])=(0,−1,0,1).\boxed{N=4,\quad\Omega=\frac\pi2\ \mathrm{rad/sample}},\qquad \boxed{(x[0],x[1],x[2],x[3])=(0,-1,0,1)}.

問2 (5)​

フーリエ級数の正逆変換を

X[k]=1N∑n=0N−1x[n]e−2πikn/N,x[n]=∑k=0N−1X[k]e2πikn/NX[k]=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-2\pi i kn/N},\qquad x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{2\pi i kn/N}

と定義する。N=4N=4 を代入すると

(X[0],X[1],X[2],X[3])=(0,i/2,0,−i/2).\boxed{(X[0],X[1],X[2],X[3])=(0,i/2,0,-i/2)}.

原題に規格化の指定はない。順変換に 1/N1/N を付けず、逆変換に 1/N1/N を付ける定義なら、対応する係数は (0,2i,0,−2i)\boxed{(0,2i,0,-2i)} となる。どちらも正逆変換を同じ定義で使えば、上記の標本値を再構成する。

Reference​

本页目录