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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 選択問題3 熱力学

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

問1​

狭義の理想気体の定圧・定積比熱を cp,cvc_p,c_v、気体定数を RR とする。水平に動くピストン内の気体の圧力は PP、体積は VV、質量は MM。外部仕事に損失はない。温度が ΔT\Delta T 変化した場合を考える。

  1. 定圧変化で得る熱量 Q1Q_1 と定積変化で得る熱量 Q2Q_2 を求めよ。
  2. 定圧変化で体積が ΔV\Delta V 変わるときの仕事 L1L_1、および定積変化の仕事 L2L_2 を求めよ。
  3. 「内部エネルギーの総和 EE」を、定圧変化 E1E_1 と定積変化 E2E_2 の場合について求めよ。
  4. 温度による物性変化を無視して cp=cv+Rc_p=c_v+R を証明せよ。
  5. 比熱比 κ=cp/cv\kappa=c_p/c_v と RR で cp,cvc_p,c_v を表せ。

問2​

逆カルノーサイクルで冷暖房を行い、室温を一定に保つ。

  1. 夏、外気320 K、室温300 K、外部から室内への侵入熱3 kWのとき、必要最小動力を求めよ。
  2. 冬、外気270 K、室温300 K、室内から外部への熱損失5 kWのとき、必要最小動力を求めよ。

問3​

発熱量 50×106 J/kg50\times10^6\ \mathrm{J/kg} の燃料を用いるエンジンが、熱効率50%、出力30 kWで一定運転している。

  1. 1時間当たりの燃料消費量 MM [kg/h] を求めよ。
  2. 同じ出力で熱効率を60%に改善した場合、1時間当たりの燃料節約量 ΔM\Delta M [kg/h] を求めよ。

题目描述​

问1：水平活塞内质量 MM、压力 PP、体积 VV 的定比热理想气体温度改变 ΔT\Delta T，分别求等压和等容过程的吸热、对外做功及内能变化；由第一定律证明迈耶关系，并用比热比 κ\kappa 和气体常数 RR 表示两比热。原题内能“总和”的措辞按本次过程的变化量解释。问2：逆卡诺空调保持室温300 K；夏季外温320 K、入热3 kW，冬季外温270 K、散热5 kW，分别求最小功率。问3：燃料热值 50×10650\times10^6 J/kg、发动机输出30 kW，求效率50%时每小时耗油量和提高到60%后的每小时节省量。

Kai​

問1​

熱の流入、気体が外部にする仕事を正とする。

Q1=McpΔT,Q2=McvΔT,\boxed{Q_1=Mc_p\Delta T,\qquad Q_2=Mc_v\Delta T},
L1=PΔV=MRΔT,L2=0.\boxed{L_1=P\Delta V=MR\Delta T,\qquad L_2=0}.

理想気体の内部エネルギーは温度だけの関数であり、変化量は両過程とも

E1=E2=McvΔT.\boxed{E_1=E_2=Mc_v\Delta T}.

ここでは原題(3)の EE を内部エネルギーの変化量と解する。絶対値には初期温度と基準エネルギーが必要であり、ΔT\Delta T だけでは求まらない。

定圧変化の第一法則 Q1=E1+L1Q_1=E_1+L_1 に代入すると、McpΔT=McvΔT+MRΔTMc_p\Delta T=Mc_v\Delta T+MR\Delta T。したがって cp−cv=R\boxed{c_p-c_v=R}。これと κ=cp/cv\kappa=c_p/c_v より

cv=Rκ−1,cp=κRκ−1.\boxed{c_v=\frac{R}{\kappa-1},\qquad c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1}}.

問2​

冷房の成績係数は COPR=TL/(TH−TL)=300/20=15\mathrm{COP}_R=T_L/(T_H-T_L)=300/20=15。よって W˙min⁡=3/15=0.200 kW\boxed{\dot W_{\min}=3/15=0.200\ \mathrm{kW}}。

暖房では COPH=TH/(TH−TL)=300/30=10\mathrm{COP}_H=T_H/(T_H-T_L)=300/30=10。よって W˙min⁡=5/10=0.500 kW\boxed{\dot W_{\min}=5/10=0.500\ \mathrm{kW}}。

問3​

燃料消費量は出力を熱効率と発熱量で割れば得られる。

M=30×103×36000.50×50×106=4.32 kg/h.\boxed{M=\frac{30\times10^3\times3600}{0.50\times50\times10^6}=4.32\ \mathrm{kg/h}}.

効率60%では M′=3.60 kg/hM'=3.60\ \mathrm{kg/h}。したがって ΔM=0.72 kg/h\boxed{\Delta M=0.72\ \mathrm{kg/h}}。

Reference​

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