電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 選択問題3 熱力学

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• 理想气体的熵与热容
• 热泵与制冷
• 卡诺循环与热机效率

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

以下の問1，問2，問3に解答せよ。

問1

狭義の理想気体について，定圧比熱を $c_p\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ と定積比熱を $c_v\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ とする。この理想気体は水平方向に可動するピストンの中に，圧力 $P\,[\mathrm{Pa}]$，体積 $V\,[\mathrm{m^3}]$ で充填されている。その気体の質量は $M\,[\mathrm{kg}]$，気体定数は $R\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ である。ただし，気体がする外部仕事に損失はないものとする。理想気体の温度が $\Delta T\,[\mathrm K]$ 変化した場合，以下の問いに答えよ。

(1) 各々の理想気体が，それぞれ，定圧変化の過程のみで得た熱量 $Q_1\,[\mathrm J]$ と，定積変化の過程のみで得た熱量 $Q_2\,[\mathrm J]$ を，それぞれ求めよ。

(2) 定圧変化で体積が $\Delta V\,[\mathrm{m^3}]$ 変化したときの仕事 $L_1\,[\mathrm J]$ と，定積変化の仕事 $L_2\,[\mathrm J]$ について，それぞれ求めよ。

(3) 内部エネルギーの総和 $E\,[\mathrm J]$ について，定圧変化 $E_1\,[\mathrm J]$ と定積変化 $E_2\,[\mathrm J]$ の場合について，それぞれ求めよ。

(4) 2つの比熱 $c_p,c_v$ について，$c_p=c_v+R$ が成立することを証明せよ。ただし，温度変化による物性の変化は無視できるものとする。

(5) 比熱比 $\kappa$ と $R$ を用いて，$c_p,c_v$ をそれぞれ示せ。

問2

逆カルノーサイクルで運転する冷暖房機で室温を一定に保ちたい。以下の運転条件においてそれぞれの問いに答えよ。

(1) 夏場に冷房運転している状態とし，外気温 $320\,[\mathrm K]$ の時に室温を $300\,[\mathrm K]$ に保ちたい。室内への外部侵入熱が $3\,\mathrm{kW}$ の時，必要最小動力を求めよ。

(2) 冬場に暖房運転している状態とし，外気温 $270\,[\mathrm K]$ の時に室内を $300\,[\mathrm K]$ に保ちたい。室内からの熱損失が $5\,\mathrm{kW}$ の時，必要最小動力を求めよ。

問3

ある自動車のエンジンは，燃料の発熱量に対して熱効率 $50\%$ で稼働し，$30\,\mathrm{kW}$ の出力で走行している。使用する燃料の発熱量が $50\times10^6\,\mathrm{J/kg}$ である。以下の問いに答えよ。ただし，走行中にエンジンの出力や熱効率は変化しないものとする。

(1) このエンジンが1時間あたり消費する燃料の質量 $M\,[\mathrm{kg/h}]$ を求めよ。

(2) このエンジンの熱効率を $50\%$ から $60\%$ に改善して同じ出力を取り出す場合，$50\%$ の場合と比較して1時間あたりに節約可能な燃料の質量 $\Delta M\,[\mathrm{kg/h}]$ を求めよ。

题目描述

回答下列第1题、第2题、第3题。

第1题

对于狭义理想气体，设定压比热为 $c_p\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$，定容比热为 $c_v\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$。气体充填在活塞可沿水平方向移动的容器中，压力为 $P\,[\mathrm{Pa}]$，体积为 $V\,[\mathrm{m^3}]$，质量为 $M\,[\mathrm{kg}]$，气体常数为 $R\,[\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$。假设气体对外做功没有损失。当气体温度变化 $\Delta T\,[\mathrm K]$ 时，回答下列问题。

(1) 分别求气体仅经历定压变化所获得的热量 $Q_1\,[\mathrm J]$，以及仅经历定容变化所获得的热量 $Q_2\,[\mathrm J]$。

(2) 分别求定压变化中体积改变 $\Delta V\,[\mathrm{m^3}]$ 时的功 $L_1\,[\mathrm J]$，以及定容变化中的功 $L_2\,[\mathrm J]$。

(3) 对于“内能总和”$E\,[\mathrm J]$，分别求定压变化时的 $E_1\,[\mathrm J]$ 与定容变化时的 $E_2\,[\mathrm J]$。

(4) 证明两个比热满足 $c_p=c_v+R$。假设温度变化引起的物性变化可忽略。

(5) 用比热比 $\kappa$ 和 $R$ 分别表示 $c_p,c_v$。

第2题

用按逆卡诺循环运行的冷暖空调使室温保持恒定。对于以下运行条件，分别回答问题。

(1) 夏季制冷时，室外温度为 $320\,[\mathrm K]$，希望将室温保持在 $300\,[\mathrm K]$。若从室外传入室内的热量为 $3\,\mathrm{kW}$，求所需最小功率。

(2) 冬季供暖时，室外温度为 $270\,[\mathrm K]$，希望将室内保持在 $300\,[\mathrm K]$。若室内的热损失为 $5\,\mathrm{kW}$，求所需最小功率。

第3题

某汽车发动机相对于燃料发热量的热效率为 $50\%$，行驶时的输出功率为 $30\,\mathrm{kW}$。燃料发热量为 $50\times10^6\,\mathrm{J/kg}$。假设行驶过程中发动机的输出功率与热效率均不变，回答下列问题。

(1) 求发动机每小时消耗的燃料质量 $M\,[\mathrm{kg/h}]$。

(2) 若将发动机热效率从 $50\%$ 提高到 $60\%$，并保持相同输出功率，求与热效率 $50\%$ 时相比每小时可节省的燃料质量 $\Delta M\,[\mathrm{kg/h}]$。

Kai

問1

熱の流入、気体が外部にする仕事を正とする。

$$\boxed{Q_1=Mc_p\Delta T,\qquad Q_2=Mc_v\Delta T},$$

$$\boxed{L_1=P\Delta V=MR\Delta T,\qquad L_2=0}.$$

理想気体の内部エネルギーは温度だけの関数であり、変化量は両過程とも

$$\boxed{E_1=E_2=Mc_v\Delta T}.$$

ここでは原題(3)の $E$ を内部エネルギーの変化量と解する。絶対値には初期温度と基準エネルギーが必要であり、$\Delta T$ だけでは求まらない。

定圧変化の第一法則 $Q_1=E_1+L_1$ に代入すると、$Mc_p\Delta T=Mc_v\Delta T+MR\Delta T$。したがって $\boxed{c_p-c_v=R}$。これと $\kappa=c_p/c_v$ より

$$\boxed{c_v=\frac{R}{\kappa-1},\qquad c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1}}.$$

問2

冷房の成績係数は $\mathrm{COP}_R=T_L/(T_H-T_L)=300/20=15$。よって $\boxed{\dot W_{\min}=3/15=0.200\ \mathrm{kW}}$。

暖房では $\mathrm{COP}_H=T_H/(T_H-T_L)=300/30=10$。よって $\boxed{\dot W_{\min}=5/10=0.500\ \mathrm{kW}}$。

問3

燃料消費量は出力を熱効率と発熱量で割れば得られる。

$$\boxed{M=\frac{30\times10^3\times3600}{0.50\times50\times10^6}=4.32\ \mathrm{kg/h}}.$$

効率60%では $M'=3.60\ \mathrm{kg/h}$。したがって $\boxed{\Delta M=0.72\ \mathrm{kg/h}}$。

Reference

• 電気通信大学公式原題の公開アーカイブ：2020年8月18日実施、PDF 8ページ