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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 必須問題（物理学基礎）問2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

以下の問いに答えよ。

(1) 図1に示すように，真空中（誘電率 ε0\varepsilon_0）に点電荷 qq を取り囲む任意の閉曲面 SS がある。閉曲面 SS 上の微小面 dSdS での電場ベクトルを E\boldsymbol E，法線単位ベクトルを n\boldsymbol n とする。このとき内積 E⋅n dS\boldsymbol E\cdot\boldsymbol n\,dS を立体角 dΩd\Omega で表わし，閉曲面 SS 上にわたって積分することで，ガウスの法則(a)が成り立つことを示せ。なお電荷 qq から距離 rr にある微小面 dSdS を見込む立体角 dΩd\Omega は dΩ=(r⋅n)dS/r3d\Omega=(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol n)dS/r^3 で定義される。

図1

(2) 図2に示すように真空中で，半径 aa の導体球を，内半径 bb，外半径 cc の導体球殻で同心状に包み，導体球殻に電荷を与えず導体球にのみ電荷 QQ を与えた。このとき導体球表面の点 AA と導体球殻内表面の点 BB 間において任意の経路 CC を考える。経路 CC 上の微小ベクトル dsd\boldsymbol s を球座標系での単位ベクトル (er,eθ,eφ)(\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_\varphi) を用いて表せ。また，内積 E⋅ds\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol s を er\boldsymbol e_r 方向の微小長 drdr を用いて表せ。次に，点 BB を基準とした点 AA の電位 VV を求めよ。

図2

(3) 図3に示す導体球殻内の球面 S1S_1 にガウスの法則(a)を適用し，導体球殻の内面に誘導される電荷 Q1Q_1 を求めよ。

図3

(4) 次に，図4に示す導体球殻の内表面にまたがる微小円柱 S2S_2（円柱の底面の面積 dSdS）にガウスの法則(a)を適用し，導体球殻の内面に誘導される電荷の面密度 ω\omega を求めよ。また電荷 Q1Q_1 を求めよ。

図4

(5) 以上より，導体球殻の外部（c<rc<r）の電場ベクトル E\boldsymbol E を求め，r=∞r=\infty を基準として点 AA の電位を求めよ。

(6) 一方，導体球には電荷を与えず導体球殻にのみ電荷 QQ を与えた。このときの，r=∞r=\infty を基準として点 AA の電位を求めよ。

∫SE⋅n dS=qε0(a)\int_S\boldsymbol E\cdot\boldsymbol n\,dS=\frac{q}{\varepsilon_0} \tag{a}

(a)：ガウスの法則。

题目描述​

回答下列问题。

(1) 如图1，在真空中（介电常数为 ε0\varepsilon_0），有包围点电荷 qq 的任意闭曲面 SS。设闭曲面 SS 上微小面元 dSdS 处的电场矢量为 E\boldsymbol E，单位法向量为 n\boldsymbol n。用立体角 dΩd\Omega 表示内积 E⋅n dS\boldsymbol E\cdot\boldsymbol n\,dS，再对整个闭曲面 SS 积分，证明高斯定律(a)成立。从电荷 qq 处看距离为 rr 的微小面元 dSdS 所张的立体角定义为 dΩ=(r⋅n)dS/r3d\Omega=(\boldsymbol r\cdot\boldsymbol n)dS/r^3。

(2) 如图2，在真空中，以内半径 bb、外半径 cc 的导体球壳同心包围半径 aa 的导体球。不给球壳电荷，仅给导体球电荷 QQ。考虑导体球表面的点 AA 与球壳内表面的点 BB 之间的任意路径 CC。用球坐标系中的单位向量 (er,eθ,eφ)(\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\theta,\boldsymbol e_\varphi) 表示路径上的微小位移矢量 dsd\boldsymbol s，并用 er\boldsymbol e_r 方向的微小长度 drdr 表示内积 E⋅ds\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol s。然后求以 BB 点为基准的 AA 点电势 VV。

(3) 对图3所示位于导体球壳内的球面 S1S_1 应用高斯定律(a)，求球壳内表面感应的电荷 Q1Q_1。

(4) 再对图4所示跨越导体球壳内表面的微小圆柱 S2S_2（圆柱底面积为 dSdS）应用高斯定律(a)，求球壳内表面感应电荷的面密度 ω\omega，并求电荷 Q1Q_1。

(5) 根据以上结果，求球壳外部（c<rc<r）的电场矢量 E\boldsymbol E，以及以 r=∞r=\infty 为基准的 AA 点电势。

(6) 另一方面，不给导体球电荷，仅给球壳电荷 QQ。求此时以 r=∞r=\infty 为基准的 AA 点电势。

高斯定律(a)为 ∫SE⋅n dS=q/ε0\displaystyle\int_S\boldsymbol E\cdot\boldsymbol n\,dS=q/\varepsilon_0。

Kai​

(1)​

クーロンの法則 E=qr/(4πε0r3)\mathbf E=q\mathbf r/(4\pi\varepsilon_0r^3) より

E⋅n dS=q4πε0dΩ.\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega.

閉曲面が電荷を囲むとき、有向立体角の積分は 4π4\pi。したがって ∮SE⋅n dS=q/ε0\boxed{\oint_S\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS=q/\varepsilon_0}。

(2)​

ds=dr er+r dθ eθ+rsin⁡θ dφ eφ.d\mathbf s=dr\,\mathbf e_r+r\,d\theta\,\mathbf e_\theta+r\sin\theta\,d\varphi\,\mathbf e_\varphi.

球対称性とガウスの法則から、a<r<ba<r<b では E=Qer/(4πε0r2)\mathbf E=Q\mathbf e_r/(4\pi\varepsilon_0r^2)。したがって E⋅ds=Q dr/(4πε0r2)\mathbf E\cdot d\mathbf s=Q\,dr/(4\pi\varepsilon_0r^2)、

VA−VB=−∫baQ4πε0r2dr=Q4πε0(1a−1b).\boxed{\begin{gathered} V_A-V_B=-\int_b^a\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}dr\\ =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right) \end{gathered}}.

(3), (4)​

導体内部の電場は0なので、S1S_1 の内部電荷も0。よって Q1=−Q\boxed{Q_1=-Q}。

微小円柱の空洞側の底面法線は −er-\mathbf e_r、導体側の電場は0である。側面の寄与を高さとともに0にすると

−E(b)dS=ωdSε0,ω=−Q4πb2,Q1=4πb2ω=−Q.\begin{gathered} -E(b)dS=\frac{\omega dS}{\varepsilon_0},\\ \boxed{\omega=-\frac{Q}{4\pi b^2}},\\ \boxed{Q_1=4\pi b^2\omega=-Q}. \end{gathered}

(5)​

中性の球殻の外面には +Q+Q が誘導される。全電荷は QQ であるから

E(r)=Q4πε0r2er(r>c).\boxed{\mathbf E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathbf e_r\quad(r>c)}.

球殻は等電位で VB=V(c)=Q/(4πε0c)V_B=V(c)=Q/(4\pi\varepsilon_0c)。したがって

VA=Q4πε0(1a−1b+1c).\boxed{V_A=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b+\frac1c\right)}.

(6)​

内球の電荷が0なので球殻内面の電荷も0であり、QQ はすべて外面に分布する。空洞内の電場は0、内球と球殻は等電位となるため

VA=Q4πε0c.\boxed{V_A=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0c}}.

Reference​

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