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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 必須問題（物理学基礎）問2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

真空の誘電率を ε0\varepsilon_0 とする。

  1. 点電荷 qq を囲む任意の閉曲面 SS 上で、電場 E\mathbf E、外向き法線単位ベクトル n\mathbf n、微小面積 dSdS を考える。qq からの位置を r\mathbf r とすると、立体角は dΩ=(r⋅n)dS/r3d\Omega=(\mathbf r\cdot\mathbf n)dS/r^3 である。E⋅n dS\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS を dΩd\Omega で表し、ガウスの法則 ∮SE⋅n dS=q/ε0\oint_S\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS=q/\varepsilon_0 を示せ。
  2. 半径 aa の導体球を、内半径 bb、外半径 cc の中性の同心導体球殻で囲み、内球だけに電荷 QQ を与える（a<b<ca<b<c）。球面上の点 AA と球殻内面上の点 BB を結ぶ空洞内の任意の経路を CC とする。微小変位 dsd\mathbf s を球座標の単位ベクトルで表し、E⋅ds\mathbf E\cdot d\mathbf s を動径方向の drdr で表せ。さらに BB を基準とする AA の電位を求めよ。
  3. 球殻の導体内部 b<r<cb<r<c にある同心球面 S1S_1 にガウスの法則を適用し、内面の誘導電荷 Q1Q_1 を求めよ。
  4. 球殻内面をまたぐ、高さが十分小さく底面積が dSdS の円柱 S2S_2 にガウスの法則を適用し、内面の電荷面密度 ω\omega と Q1Q_1 を求めよ。
  5. 球殻外部 r>cr>c の電場ベクトルと、無限遠を基準とした AA の電位を求めよ。
  6. 内球は中性のまま、球殻だけに電荷 QQ を与えた場合の、無限遠を基準とする AA の電位を求めよ。

题目描述​

先用点电荷的库仑场和有向立体角证明高斯定律。再研究真空中半径为 aa 的导体球及内、外半径为 b,cb,c 的同心导体壳，a<b<ca<b<c。内球带电 QQ、壳中性时，求球坐标微小位移、电场线积分、球相对壳内表面的电位差、壳内面的感应电荷与面密度、壳外电场及球相对无穷远的电位；最后改为内球中性而仅壳带电 QQ，求球的电位。感应电荷分别用导体内高斯球面与跨越内表面的微小柱面推导。

Kai​

(1)​

クーロンの法則 E=qr/(4πε0r3)\mathbf E=q\mathbf r/(4\pi\varepsilon_0r^3) より

E⋅n dS=q4πε0dΩ.\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega.

閉曲面が電荷を囲むとき、有向立体角の積分は 4π4\pi。したがって ∮SE⋅n dS=q/ε0\boxed{\oint_S\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS=q/\varepsilon_0}。

(2)​

ds=dr er+r dθ eθ+rsin⁡θ dφ eφ.d\mathbf s=dr\,\mathbf e_r+r\,d\theta\,\mathbf e_\theta+r\sin\theta\,d\varphi\,\mathbf e_\varphi.

球対称性とガウスの法則から、a<r<ba<r<b では E=Qer/(4πε0r2)\mathbf E=Q\mathbf e_r/(4\pi\varepsilon_0r^2)。したがって E⋅ds=Q dr/(4πε0r2)\mathbf E\cdot d\mathbf s=Q\,dr/(4\pi\varepsilon_0r^2)、

VA−VB=−∫baQ4πε0r2dr=Q4πε0(1a−1b).\boxed{V_A-V_B=-\int_b^a\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}dr =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right)}.

(3), (4)​

導体内部の電場は0なので、S1S_1 の内部電荷も0。よって Q1=−Q\boxed{Q_1=-Q}。

微小円柱の空洞側の底面法線は −er-\mathbf e_r、導体側の電場は0である。側面の寄与を高さとともに0にすると

−E(b)dS=ωdSε0,ω=−Q4πb2,Q1=4πb2ω=−Q.-E(b)dS=\frac{\omega dS}{\varepsilon_0},\qquad \boxed{\omega=-\frac{Q}{4\pi b^2}},\quad \boxed{Q_1=4\pi b^2\omega=-Q}.

(5)​

中性の球殻の外面には +Q+Q が誘導される。全電荷は QQ であるから

E(r)=Q4πε0r2er(r>c).\boxed{\mathbf E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathbf e_r\quad(r>c)}.

球殻は等電位で VB=V(c)=Q/(4πε0c)V_B=V(c)=Q/(4\pi\varepsilon_0c)。したがって

VA=Q4πε0(1a−1b+1c).\boxed{V_A=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b+\frac1c\right)}.

(6)​

内球の電荷が0なので球殻内面の電荷も0であり、QQ はすべて外面に分布する。空洞内の電場は0、内球と球殻は等電位となるため

VA=Q4πε0c.\boxed{V_A=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0c}}.

Reference​

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