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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 必須問題（数学基礎）問2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(1) 連立方程式

x1−2x2−ax3=1,2x1−3x2+3x3=b,x1+x2+x3=0x_1-2x_2-ax_3=1,\qquad2x_1-3x_2+3x_3=b,\qquad x_1+x_2+x_3=0

が解をもつための定数 a,ba,b の条件を求めよ。

(2) 線形写像 F:R3→R2F:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 を

F(x1x2x3)=(x1+ax33x1+x2+x3)F\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1+ax_3\\3x_1+x_2+x_3\end{pmatrix}

と定義する。核 Ker⁡F\operatorname{Ker}F の基底の一つが [1,b,1]T[1,b,1]^{\mathsf T} となるとき、a,ba,b を求めよ。

(3) x=[x1,x2]T,y=[y1,y2]Tx=[x_1,x_2]^{\mathsf T},y=[y_1,y_2]^{\mathsf T} とする。二次形式 xTAxx^{\mathsf T}Ax が標準形 yTByy^{\mathsf T}By に変換でき、

A=(11212a),B=(−1500b)A=\begin{pmatrix}1&12\\12&a\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-15&0\\0&b\end{pmatrix}

であるとき、a,ba,b を求め、y1,y2y_1,y_2 を x1,x2x_1,x_2 で表せ。

题目描述​

(1) 求所示三元线性方程组有解的参数条件。(2) 给定从 R3\mathbb R^3 到 R2\mathbb R^2 的线性映射，若 [1,b,1]T[1,b,1]^{\mathsf T} 是核的一组基，求 a,ba,b。(3) 将对称矩阵 AA 对应二次型化成对角项为 −15,b-15,b 的标准形，求参数及新坐标。第(3)问按正交主轴变换理解。

Kai​

(1)​

係数行列の行列式は −5a−8-5a-8。a≠−8/5a\ne-8/5 なら任意の bb に対して唯一解をもつ。

a=−8/5a=-8/5 のとき、第一式の5倍から第二式の3倍を引き第三式を加えると、左辺が0となる。整合条件は 5−3b=05-3b=0。係数行列の階数は2なので、この条件で無数の解をもつ。

a≠−85 (b は任意),または a=−85, b=53.\boxed{a\ne-\frac85\ (b\text{ は任意}),\quad\text{または }a=-\frac85,\ b=\frac53.}

(2)​

F(1,b,1)T=(1+a,b+4)T=0F(1,b,1)^{\mathsf T}=(1+a,b+4)^{\mathsf T}=0 より

a=−1,b=−4.\boxed{a=-1,\quad b=-4}.

このとき表現行列の階数は2、核の次元は1であるため、得られた非零ベクトルは実際に核の基底となる。

(3)​

標準形への変換を通常の直交主軸変換とする。トレースと行列式を比較すると

1+a=−15+b,a−144=−15b,1+a=-15+b,\qquad a-144=-15b,

したがって a=−6,b=10\boxed{a=-6,b=10}。固有値 −15,10-15,10 に対応する正規直交固有ベクトルをそれぞれ (3,−4)T/5,(4,3)T/5(3,-4)^{\mathsf T}/5,(4,3)^{\mathsf T}/5 と選べば

y1=3x1−4x25,y2=4x1+3x25.\boxed{y_1=\frac{3x_1-4x_2}{5},\qquad y_2=\frac{4x_1+3x_2}{5}}.

実際に x12+24x1x2−6x22=−15y12+10y22x_1^2+24x_1x_2-6x_2^2=-15y_1^2+10y_2^2。固有ベクトルの符号は任意である。一般の正則変換まで許すと係数の大きさを変更できるので、a,ba,b は一意には定まらない。

Reference​

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