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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 必須問題（数学基礎）問2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

以下の設問に答えよ。

(1) 次の x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 に関する連立1次方程式が解をもつとき，定数 a,ba,b が満たすべき条件を求めよ。

{x1−2x2−ax3=1,2x1−3x2+3x3=b,x1+x2+x3=0.\begin{cases} x_1-2x_2-ax_3=1,\\ 2x_1-3x_2+3x_3=b,\\ x_1+x_2+x_3=0. \end{cases}

(2) Rn\mathbb R^n を nn 次元の実数空間とし，線形写像 F:R3→R2F:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 を次式で定義する。

F:[x1x2x3]↦[x1+ax33x1+x2+x3].F:\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \mapsto\begin{bmatrix}x_1+ax_3\\3x_1+x_2+x_3\end{bmatrix}.

線形写像 FF の核 Ker⁡F\operatorname{Ker}F の基底の1つが [1,b,1]T[1,b,1]^{\mathsf T} となるとき，定数 a,ba,b の値を求めよ。ただし，記号の右上に付した添え字 T\mathsf T は転置を表す。

(3) x=[x1,x2]T\boldsymbol x=[x_1,x_2]^{\mathsf T}，y=[y1,y2]T\boldsymbol y=[y_1,y_2]^{\mathsf T} であり，2次形式 xTAx\boldsymbol x^{\mathsf T}A\boldsymbol x が標準形 yTBy\boldsymbol y^{\mathsf T}B\boldsymbol y に変換できるとする。ここで，

A=[11212a],B=[−1500b]A=\begin{bmatrix}1&12\\12&a\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}-15&0\\0&b\end{bmatrix}

である。このとき，定数 a,ba,b の値を求めよ。また，x1,x2x_1,x_2 を用いて y1,y2y_1,y_2 を表せ。

题目描述​

回答下列问题。

(1) 求下列关于 x1,x2,x3x_1,x_2,x_3 的线性方程组有解时，常数 a,ba,b 应满足的条件。

{x1−2x2−ax3=1,2x1−3x2+3x3=b,x1+x2+x3=0.\begin{cases} x_1-2x_2-ax_3=1,\\ 2x_1-3x_2+3x_3=b,\\ x_1+x_2+x_3=0. \end{cases}

(2) 以 Rn\mathbb R^n 表示 nn 维实数空间，定义线性映射 F:R3→R2F:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 如下。

F:[x1x2x3]↦[x1+ax33x1+x2+x3].F:\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \mapsto\begin{bmatrix}x_1+ax_3\\3x_1+x_2+x_3\end{bmatrix}.

当线性映射 FF 的核 Ker⁡F\operatorname{Ker}F 的一个基为 [1,b,1]T[1,b,1]^{\mathsf T} 时，求常数 a,ba,b 的值。其中右上角的上标 T\mathsf T 表示转置。

(3) 设 x=[x1,x2]T\boldsymbol x=[x_1,x_2]^{\mathsf T}，y=[y1,y2]T\boldsymbol y=[y_1,y_2]^{\mathsf T}，二次型 xTAx\boldsymbol x^{\mathsf T}A\boldsymbol x 可以变换为标准形 yTBy\boldsymbol y^{\mathsf T}B\boldsymbol y。这里

A=[11212a],B=[−1500b].A=\begin{bmatrix}1&12\\12&a\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}-15&0\\0&b\end{bmatrix}.

求常数 a,ba,b 的值，并用 x1,x2x_1,x_2 表示 y1,y2y_1,y_2。

Kai​

(1)​

係数行列の行列式は −5a−8-5a-8。a≠−8/5a\ne-8/5 なら任意の bb に対して唯一解をもつ。

a=−8/5a=-8/5 のとき、第一式の5倍から第二式の3倍を引き第三式を加えると、左辺が0となる。整合条件は 5−3b=05-3b=0。係数行列の階数は2なので、この条件で無数の解をもつ。

a≠−85 (b は任意),または a=−85, b=53.\boxed{\begin{gathered} a\ne-\frac85\ (b\text{ は任意}),\\ \text{または }a=-\frac85,\ b=\frac53. \end{gathered}}

(2)​

F(1,b,1)T=(1+a,b+4)T=0F(1,b,1)^{\mathsf T}=(1+a,b+4)^{\mathsf T}=0 より

a=−1,b=−4.\boxed{a=-1,\quad b=-4}.

このとき表現行列の階数は2、核の次元は1であるため、得られた非零ベクトルは実際に核の基底となる。

(3)​

標準形への変換を通常の直交主軸変換とする。トレースと行列式を比較すると

1+a=−15+b,a−144=−15b,1+a=-15+b,\qquad a-144=-15b,

したがって a=−6,b=10\boxed{a=-6,b=10}。固有値 −15,10-15,10 に対応する正規直交固有ベクトルをそれぞれ (3,−4)T/5,(4,3)T/5(3,-4)^{\mathsf T}/5,(4,3)^{\mathsf T}/5 と選べば

y1=3x1−4x25,y2=4x1+3x25.\boxed{y_1=\frac{3x_1-4x_2}{5},\qquad y_2=\frac{4x_1+3x_2}{5}}.

実際に x12+24x1x2−6x22=−15y12+10y22x_1^2+24x_1x_2-6x_2^2=-15y_1^2+10y_2^2。固有ベクトルの符号は任意である。一般の正則変換まで許すと係数の大きさを変更できるので、a,ba,b は一意には定まらない。

Reference​

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