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電気通信大学 情報理工学研究科 機械知能システム学専攻 2020年8月実施 必須問題（数学基礎）問1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

以下の設問に答えよ。

(1) 関数 f(x,y)=x3−2y2+3xy−yf(x,y)=x^3-2y^2+3xy-y の極大値と極小値の存在を調べ，存在するならばその値を求めよ。

(2) D:x2+y2≤2xD:x^2+y^2\le2x における ∬D2−x dx dy\displaystyle\iint_D\sqrt{2-x}\,dx\,dy の値を求めよ。

(3) 次の微分方程式の一般解を求めよ。ただし，ee は自然対数の底である。

d2f(x)dx2−5df(x)dx+4f(x)=e3x+sin⁡xcos⁡x.\frac{d^2f(x)}{dx^2}-5\frac{df(x)}{dx}+4f(x)=e^{3x}+\sin x\cos x.

题目描述​

回答下列问题。

(1) 判断函数 f(x,y)=x3−2y2+3xy−yf(x,y)=x^3-2y^2+3xy-y 是否存在局部极大值和局部极小值。若存在，求其值。

(2) 求区域 D:x2+y2≤2xD:x^2+y^2\le2x 上积分 ∬D2−x dx dy\displaystyle\iint_D\sqrt{2-x}\,dx\,dy 的值。

(3) 求下列微分方程的通解。其中 ee 为自然对数的底。

d2f(x)dx2−5df(x)dx+4f(x)=e3x+sin⁡xcos⁡x.\frac{d^2f(x)}{dx^2}-5\frac{df(x)}{dx}+4f(x)=e^{3x}+\sin x\cos x.

Kai​

(1)​

停留条件 3x2+3y=0,−4y+3x−1=03x^2+3y=0,-4y+3x-1=0 より y=−x2y=-x^2、(4x−1)(x+1)=0(4x-1)(x+1)=0。停留点は (−1,−1),(1/4,−1/16)(-1,-1),(1/4,-1/16) である。

ヘッセ行列の行列式は D=(6x)(−4)−32=−24x−9D=(6x)(-4)-3^2=-24x-9。前者では D=15>0,fxx=−6<0D=15>0,f_{xx}=-6<0 なので極大、後者では D=−15<0D=-15<0 なので鞍点である。したがって

f(−1,−1)=1 が極大値、極小値は存在しない。\boxed{f(-1,-1)=1\text{ が極大値、極小値は存在しない。}}

(2)​

円板の中心は (1,0)(1,0)、半径は1。0≤x≤20\le x\le2 を固定すると ∣y∣≤2x−x2|y|\le\sqrt{2x-x^2} であるから

∬D2−x dx dy=2∫022−xx(2−x) dx=2∫02(2−x)x dx=32215.\begin{aligned} \iint_D\sqrt{2-x}\,dx\,dy &=2\int_0^2\sqrt{2-x}\sqrt{x(2-x)}\,dx\\ &=2\int_0^2(2-x)\sqrt{x}\,dx =\boxed{\frac{32\sqrt2}{15}}. \end{aligned}

(3)​

特性方程式 (λ−1)(λ−4)=0(\lambda-1)(\lambda-4)=0 より同次解は C1ex+C2e4xC_1e^x+C_2e^{4x}。右辺を e3x+12sin⁡2xe^{3x}+\tfrac12\sin2x とし、特解を Ae3x+Bcos⁡2x+Csin⁡2xAe^{3x}+B\cos2x+C\sin2x とおくと、係数比較から A=−1/2,B=1/20,C=0A=-1/2,B=1/20,C=0。したがって

f(x)=C1ex+C2e4x−12e3x+120cos⁡2x.\boxed{f(x)=C_1e^x+C_2e^{4x}-\frac12e^{3x}+\frac1{20}\cos2x}.

Reference​

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