電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2026年8月実施 選択問題 確率・オペレーションズリサーチ

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• 期望与方差
• 中心极限定理
• 马尔可夫不等式与切比雪夫不等式
• 二项分布
• 矩生成函数
• 单纯形法

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shank (co-authored with GPT 6.1 SOL)

Description

この科目（確率・オペレーションズリサーチ）を受験する場合には，問1は必ず解答し，問2と問3はいずれか一方のみを選択して解答すること。

問1

期待値が $\mu=100$，標準偏差が $\sigma=20$ の分布に従う互いに独立な確率変数 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ を考える。また，これらの標本平均を $\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ とする。

問 1-1： 標本平均 $\bar{X}_n$ の期待値 $E[\bar{X}_n]$ を求めよ。

問 1-2： 標本平均 $\bar{X}_n$ の分散 $V[\bar{X}_n]$ を求めよ。

以下では，標本平均 $\bar{X}_n$ が $\mu$ から $\pm 2$ 以上外れる確率 $P(|\bar{X}_n-\mu|\geq 2)$ を $1\%$ 以下に抑える最小の $n$，すなわち

$$P(|\bar{X}_n-\mu|\geq 2)\leq 0.01 \tag{1}$$

となる $n$ を求めたい。

問 1-3： 中心極限定理により，$n$ が十分に大きいとき，$\bar{X}_n$ は近似的に正規分布に従うものとする。この近似の下で，以下の確率変数 $Z$ を考える。

$$Z=\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$

式 (1) を $Z$ を用いた不等式 $P(|Z|\geq f(n))\leq 0.01$ に置き換えるとき，$f(n)$ を $n$ の式として求めよ。

問 1-4： 標準正規分布表から，$P(|Z|\geq 2.58)$ がおおよそ $0.01$ であることがわかっている。そこで $P(|Z|\geq 2.58)=0.01$ と仮定して，問 1-3 の結果から式 (1) を満たす最小の $n$ の近似値を求めよ（小数点以下を切り上げて答えよ）。

問 1-5： 以下のチェビシェフの不等式

$$P(|\bar{X}_n-\mu|\geq\varepsilon) \leq\frac{V[\bar{X}_n]}{\varepsilon^2}$$

を用いて，式 (1) を満たす最小の $n$ を求めよ。

問 1-6： 問 1-4 と問 1-5 で求めた $n$ の差を確認し，なぜこのような差が生じるのかを簡潔に述べよ。

Keywords：期待値：expected value，標準偏差：standard deviation，互いに独立：mutually independent，確率変数：random variable，標本平均：sample mean，分散：variance，確率：probability，最小：smallest，中心極限定理：central limit theorem，近似：approximation，正規分布：normal distribution，標準正規分布表：standard normal distribution table，おおよそ：approximately，切り上げ：round up，チェビシェフの不等式：Chebyshev's inequality

問2

この問題を選択する場合には問3に解答してはいけない。

二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ についての問いに答えよ。ただし，確率関数（確率質量関数）は下記で与えられるものとする。

$$P(X=k)={}_n C_k\,p^k(1-p)^{n-k},\qquad(k=0,1,\ldots,n)$$

問 2-1： 次の事象 A から E のうち，二項分布に従うモデルとして不適切なものをすべて選べ。

• A. 表が出る確率が 0.5 のコインを 10 回投げた時に，表が出る回数。
• B. 赤玉 3 個，白玉 7 個が入った袋から，玉を 1 個取り出して色を確認し，それを袋に戻さずに 10 回連続で取り出したときの赤玉の回数。
• C. 1 時間に平均約 2 回発生する稀なシステムエラーについて，ある特定の 1 時間におけるエラーの発生回数。
• D. ある交差点を通過する車が左折する確率を $10\%$ としたとき，次に左折車が現れるまでに通過した直進車の台数。
• E. ランダムにシャッフルしたトランプの山札を上から順番にめくって，最初に「キング」が出るまでにめくるカードの枚数。

問 2-2： 二項分布に従う確率変数 $X$ のモーメント母関数 $E[e^{tX}]$ を $n,p,t$ の式として求めよ。また，1 次モーメント $E[X]$，2 次モーメント $E[X^2]$ をそれぞれ $n$ と $p$ の式として求めよ。ただし $n$ は 2 以上とする。

以下では，製造ラインで生産される部品の不良率を $0<p<1$ とする。このラインからランダムに 2 個の部品を取得して，それを 1 組とする。また，1 組に含まれる不良品の数を確率変数 $X$ とし，これは二項分布 $B(2,p)$ に従うものとする。

管理者は 1 組内の不良品数 $X$ が事前に決めておいた基準値 $k$ 未満の場合にはその 1 組を「出荷」し，それ以外の場合には「廃棄」する。「出荷」した場合には，1 組内の不良品が 1 個ならば $c_1$ 円の損失を，不良品が 2 個ならば $c_2$ 円の損失を被るとする。「廃棄」を選択した場合は不良品の個数に関わらず $B$ 円の損失を被るとする。ただし $c_1<B<c_2$ である。また，基準値を $k$ としたときの損失の期待値を $R(k)$ とする。

問 2-3： $k=1$ としたときの損失の期待値 $R(1)$ を $p,B$ の式として求めよ。

問 2-4： $k=2$ としたときの損失の期待値 $R(2)$ を $p,c_1,B$ の式として求めよ。

問 2-5： 損失の期待値 $R(k)$ が最小になる $k$ を求めよ。

Keywords：二項分布：binomial distribution，確率質量関数：probability mass function，事象：event，不適切：inappropriate，モーメント母関数：moment generating function，1 次モーメント：first moment，2 次モーメント：second moment，製造ライン：production line，不良率：defective product rate，組：pair，未満：less than，出荷：ship，廃棄：discard，損失：loss

問3

この問題を選択する場合には，問2に解答してはいけない。

以下の式 (1)–(5) からなる最大化問題をシンプレックス法で解くことを考える：

$$\begin{array}{rll} \max & 0.4x_1+0.5x_2 & (1) \\ \text{s.t.} & 0.3x_1+0.1x_2\leq 2.7, & (2) \\ & 0.5x_1+0.5x_2=6, & (3) \\ & 0.6x_1+0.4x_2\geq 6, & (4) \\ & x_1,x_2\geq 0. & (5) \end{array}$$

このためには，以下の手続きを実行しなければならない。

1. 制約をスラック変数および人為変数を用いて等式制約に変換する。
2. 最初の非基底変数を選んで実行基底解を求める。ここで，基底解とは変換した等式制約からなる連立 1 次方程式の解であり，実行基底解とはその基底変数の値が全て非負となる基底解のことである。
3. 求めた実行基底解の値を改善できるかどうかを考えるために，シンプレックス表を作る。もし改善できなければシンプレックス法を終了する。改善できる場合は，目的関数の値を最も大きく改良する非基底変数を 1 つ選ぶ。
4. 現行の基底変数の中から非基底変数にする変数を選ぶ。ステップ 3 で選んだ非基底変数を増加させると，等式制約を満たすように，現行の基底変数の値を減少させなければならない。したがって，現行の基底変数が負にならない範囲で，選んだ非基底変数を増加させる。
5. 次に基底解に入る基底変数と次に基底解から出る非基底変数の交点係数を 1 とし，その列の他の係数を 0 にするようにシンプレックス表を更新する。
6. シンプレックス表を更新すると，実行基底解も更新されるので，ステップ 3 に戻ってこれまでの手順を繰り返す。

問 3-1： ステップ 3 で最初に作ったシンプレックス表を解答欄にしたがって作成せよ。ただし，目的関数の係数は解答欄にあるものへ合わせることとし，$M$ は十分大きな罰金を表す。また，$z_j$ の行は $c_j$ と $x_j$ の列の各要素の積の和である。

問 3-2： ステップ 2 で選んだ非基底変数を答えよ。

問 3-3： 1 回目のステップ 3 から 5 でシンプレックス表を更新したとき，変数 $x_2$ の列における係数はそれぞれ $1/3,\ 1/3,\ 1/5$ となる。それに基づいてこのシンプレックス表を完成させなさい。

問 3-4： 式 (1)–(5) の最大化問題の最適解（各変数の値）とその解における目的関数の値をシンプレックス法で求めよ。さらに，解答欄にしたがってシンプレックス表を完成させよ。ただし，1 回目の表は問 3-1，2 回目の表は問 3-3 で解答しているので，ここには 3 回目以降のシンプレックス表を書くこと。また解答欄には 5 回目まで表を用意しているがすべてを埋める必要があるとは限らない。

Keywords：最大化問題：maximization problem，シンプレックス法：simplex method，制約：constraints，スラック変数：slack variable，人為変数：artificial variable，等式制約：equality constraints，非基底変数：non basic variable，実行基底解：basic feasible solution，非負：non-negative，目的関数：objective function，係数：coefficient，表：table，罰金：penalty，最適解：optimal solution，完成：complete

题目描述

报考本科目（概率与运筹学）时，问1为必答题，问2与问3只能选择其中一题作答。

问1

考虑相互独立的随机变量 $X_1,X_2,\ldots,X_n$，它们服从期望为 $\mu=100$、标准差为 $\sigma=20$ 的分布。定义它们的样本均值为 $\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。

问 1-1： 求样本均值 $\bar{X}_n$ 的期望 $E[\bar{X}_n]$。

问 1-2： 求样本均值 $\bar{X}_n$ 的方差 $V[\bar{X}_n]$。

以下希望求出最小的 $n$，使样本均值 $\bar{X}_n$ 与 $\mu$ 的偏差绝对值至少为 2 的概率 $P(|\bar{X}_n-\mu|\geq 2)$ 不超过 $1\%$，即满足

$$P(|\bar{X}_n-\mu|\geq 2)\leq 0.01. \tag{1}$$

问 1-3： 根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，假定 $\bar{X}_n$ 近似服从正态分布。在这一近似下，考虑下列随机变量 $Z$：

$$Z=\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.$$

将式 (1) 改写成使用 $Z$ 的不等式 $P(|Z|\geq f(n))\leq 0.01$ 时，求 $f(n)$ 关于 $n$ 的表达式。

问 1-4： 由标准正态分布表可知，$P(|Z|\geq 2.58)$ 约为 $0.01$。因此，假定 $P(|Z|\geq 2.58)=0.01$，利用问 1-3 的结果，求满足式 (1) 的最小 $n$ 的近似值（小数部分向上取整）。

问 1-5： 利用下列切比雪夫不等式，求满足式 (1) 的最小 $n$：

$$P(|\bar{X}_n-\mu|\geq\varepsilon) \leq\frac{V[\bar{X}_n]}{\varepsilon^2}.$$

问 1-6： 比较问 1-4 与问 1-5 所求出的 $n$ 的差异，并简要说明产生这一差异的原因。

关键词：期望：expected value，标准差：standard deviation，相互独立：mutually independent，随机变量：random variable，样本均值：sample mean，方差：variance，概率：probability，最小：smallest，中心极限定理：central limit theorem，近似：approximation，正态分布：normal distribution，标准正态分布表：standard normal distribution table，大约：approximately，向上取整：round up，切比雪夫不等式：Chebyshev's inequality

问2

选择本题时，不得作答问3。

对于服从二项分布 $B(n,p)$ 的随机变量 $X$，回答下列问题。其概率函数（概率质量函数）如下：

$$P(X=k)={}_n C_k\,p^k(1-p)^{n-k},\qquad(k=0,1,\ldots,n).$$

问 2-1： 从以下 A 至 E 的情形中，选出所有不适合用二项分布建模的情形。

• A. 将正面朝上的概率为 0.5 的硬币投掷 10 次，正面出现的次数。
• B. 从装有 3 个红球、7 个白球的袋中，每次取出 1 个球并确认颜色，取出后不放回；连续取球 10 次时，取出的红球个数。
• C. 对于平均每小时约发生 2 次的罕见系统错误，在某个特定的 1 小时内发生的错误次数。
• D. 设通过某个交叉路口的车辆左转的概率为 $10\%$，在下一辆左转车辆出现之前通过的直行车辆数。
• E. 将一副扑克牌随机洗牌后，依次从牌堆顶部翻牌，直到第一次出现“K”为止翻出的牌数。

问 2-2： 求服从二项分布的随机变量 $X$ 的矩母函数 $E[e^{tX}]$，用 $n,p,t$ 表示。此外，分别用 $n$ 与 $p$ 表示一阶矩 $E[X]$ 和二阶矩 $E[X^2]$。其中，$n\geq 2$。

以下设某条生产线所生产零件的不良率为 $0<p<1$。从该生产线随机取得 2 个零件，组成一组。将一组中不良品的个数记为随机变量 $X$，并假定 $X$ 服从二项分布 $B(2,p)$。

管理者预先确定一个阈值 $k$：当一组中的不良品个数 $X$ 小于 $k$ 时，将该组“出货”；否则将该组“报废”。出货时，如果一组中有 1 个不良品，则损失 $c_1$ 日元；如果有 2 个不良品，则损失 $c_2$ 日元。选择报废时，无论不良品个数多少，均损失 $B$ 日元。假定 $c_1<B<c_2$。将阈值设为 $k$ 时的期望损失记为 $R(k)$。

问 2-3： 当 $k=1$ 时，求期望损失 $R(1)$，用 $p,B$ 表示。

问 2-4： 当 $k=2$ 时，求期望损失 $R(2)$，用 $p,c_1,B$ 表示。

问 2-5： 求使期望损失 $R(k)$ 最小的 $k$。

关键词：二项分布：binomial distribution，概率质量函数：probability mass function，事件：event，不适当：inappropriate，矩母函数：moment generating function，一阶矩：first moment，二阶矩：second moment，生产线：production line，不良率：defective product rate，组：pair，小于：less than，出货：ship，报废：discard，损失：loss

问3

选择本题时，不得作答问2。

考虑用单纯形法求解由下列式 (1)–(5) 构成的最大化问题：

$$\begin{array}{rll} \max & 0.4x_1+0.5x_2 & (1) \\ \text{s.t.} & 0.3x_1+0.1x_2\leq 2.7, & (2) \\ & 0.5x_1+0.5x_2=6, & (3) \\ & 0.6x_1+0.4x_2\geq 6, & (4) \\ & x_1,x_2\geq 0. & (5) \end{array}$$

为此，必须执行以下步骤。

1. 使用松弛变量和人工变量，将约束转换为等式约束。
2. 选定初始的非基变量，求出可行基解。这里，基解是由转换后的等式约束构成的线性方程组的解；可行基解是所有基变量的值均非负的基解。
3. 为判断能否改善所求可行基解的值，建立单纯形表。如果无法改善，则结束单纯形法；如果可以改善，则选择一个使目标函数值改善最大的非基变量。
4. 从当前的基变量中选出一个将变为非基变量的变量。增大步骤 3 所选择的非基变量时，为满足等式约束，必须减小当前基变量的值。因此，在当前基变量均不变为负数的范围内，增大所选择的非基变量。
5. 将下一次进入基解的基变量与下一次离开基解的非基变量所对应的交点系数变为 1，并更新单纯形表，使该列其他系数变为 0。
6. 更新单纯形表后，可行基解也随之更新，因此返回步骤 3，重复以上过程。

问 3-1： 按照答题栏的格式，建立在步骤 3 中首次得到的单纯形表。目标函数的系数应与答题栏中给出的系数一致，$M$ 表示足够大的罚值。此外，$z_j$ 行由 $c_j$ 与 $x_j$ 列各对应元素乘积之和构成。

问 3-2： 写出在步骤 2 中所选择的非基变量。

问 3-3： 第一次执行步骤 3 至 5、更新单纯形表后，变量 $x_2$ 所在列的系数分别为 $1/3,\ 1/3,\ 1/5$。据此完成该单纯形表。

问 3-4： 用单纯形法求式 (1)–(5) 所给最大化问题的最优解（各变量的值）及该解对应的目标函数值。此外，按照答题栏的格式完成单纯形表。第 1 张表已在问 3-1 中作答，第 2 张表已在问 3-3 中作答，因此这里应填写第 3 张及之后的单纯形表。答题栏提供了直到第 5 张的表格，但不一定需要全部填写。

关键词：最大化问题：maximization problem，单纯形法：simplex method，约束：constraints，松弛变量：slack variable，人工变量：artificial variable，等式约束：equality constraints，非基变量：non basic variable，可行基解：basic feasible solution，非负：non-negative，目标函数：objective function，系数：coefficient，表：table，罚值：penalty，最优解：optimal solution，完成：complete

Kai

問1

問 1-1

期待値の線形性より，

$$E[\bar X_n]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E[X_i]=100.$$

問 1-2

独立性より共分散は $0$ であるから，

$$V[\bar X_n]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n V[X_i] =\frac{20^2}{n}=\frac{400}{n}.$$

問 1-3

標準偏差が $20/\sqrt n$ であることから，

$$|\bar X_n-\mu|\geq 2 \iff |Z|\geq\frac{2}{20/\sqrt n} =\frac{\sqrt n}{10}.$$

したがって，$f(n)=\sqrt n/10$ である。

問 1-4

問題文で指定された近似の下では，

$$\frac{\sqrt n}{10}\geq 2.58 \iff n\geq 25.8^2=665.64.$$

よって，求める最小の整数は $\boxed{n=666}$ である。

問 1-5

チェビシェフの不等式より，

$$P(|\bar X_n-\mu|\geq2) \leq\frac{400/n}{2^2}=\frac{100}{n}.$$

この上界を $0.01$ 以下にする条件は $n\geq10000$ である。したがって，この不等式によって条件を保証できる最小の整数は $\boxed{n=10000}$ である。

問 1-6

差は $10000-666=9334$ である。中心極限定理による値は標本平均の分布を正規分布で近似して求めた値であり，有限の $n$ に対する厳密な保証ではない。一方，チェビシェフの不等式は平均と分散のみから成り立つ一般的な上界であり，分布の形を利用しないため保守的になる。なお，$10000$ はこの上界から得られる十分条件であって，元の分布における実際の最小標本数を決定したものではない。

問2

問 2-1

固定回数の独立なベルヌーイ試行における成功回数として不適切なのは，$\boxed{\mathrm{B,C,D,E}}$ である。

• A：独立なコイン投げを仮定すれば $B(10,0.5)$ に従う。
• B：非復元抽出なので試行が独立ではなく，成功確率も変化する。超幾何分布によるモデルであり，特に本問では全 $10$ 個を取り出すため赤玉数は必ず $3$ となる。
• C：一定時間内の発生回数であり，固定された試行回数がない。一定率で独立に発生するという仮定を加える場合は，ポアソン分布によるモデルが適する。
• D：最初の左折車が現れるまでの待ち回数である。各車の左折・非左折を独立な試行として扱う場合は，幾何分布によるモデルになる。
• E：非復元抽出で最初のキングが現れるまでの待ち回数であり，固定回数の独立試行の成功回数ではない。

問 2-2

二項定理より，モーメント母関数は

$$M_X(t)=E[e^{tX}] =\sum_{k=0}^n {n\choose k}(pe^t)^k(1-p)^{n-k} =(1-p+pe^t)^n.$$

これを微分すると，

$$\begin{aligned} M_X'(t)&=npe^t(1-p+pe^t)^{n-1},\\ M_X''(t)&=npe^t(1-p+pe^t)^{n-1} +n(n-1)p^2e^{2t}(1-p+pe^t)^{n-2}. \end{aligned}$$

よって，

$$\boxed{E[X]=np},\qquad \boxed{E[X^2]=np+n(n-1)p^2=np(1-p)+n^2p^2}.$$

問 2-3

不良品が $0$ 個の組を出荷した場合の損失を $0$ とする。$k=1$ では $X=0$ の場合だけ出荷し，$X=1,2$ の場合に廃棄するので，

$$R(1)=B\{P(X=1)+P(X=2)\} =B\{2p(1-p)+p^2\} =\boxed{B(2p-p^2)}.$$

問 2-4

$k=2$ では $X=0,1$ の場合に出荷し，$X=2$ の場合だけ廃棄する。したがって，

$$R(2)=c_1P(X=1)+BP(X=2) =\boxed{2c_1p(1-p)+Bp^2}.$$

問 2-5

損失額を非負とする通常の解釈では，$0\leq c_1<B<c_2$ である。閾値を整数とすると，常に廃棄する $k\leq0$，$k=1$，$k=2$，常に出荷する $k\geq3$ の四つの方策を比較すればよい。

$$\begin{aligned} R(k)&=B &&(k\leq0),\\ R(k)&=2c_1p(1-p)+c_2p^2 &&(k\geq3). \end{aligned}$$

$0<p<1$ および $c_1<B<c_2$ より，

$$\begin{aligned} B-R(2)&=B(1-p)^2+2(B-c_1)p(1-p)>0,\\ R(1)-R(2)&=2(B-c_1)p(1-p)>0,\\ R(3)-R(2)&=(c_2-B)p^2>0. \end{aligned}$$

したがって，最適な整数の閾値は $\boxed{k=2}$ である。閾値に実数も許す場合，$1<k\leq2$ はすべて同じ出荷・廃棄方策を与える。

問3

以下では，$x_3$ を式 (2) のスラック変数，$x_4$ を式 (3) の人為変数，$x_5$ を式 (4) の余剰変数，$x_6$ を式 (4) の人為変数として表を作る。いずれも非負とし，大 $M$ 法の目的関数を

$$z=\frac25x_1+\frac12x_2-Mx_4-Mx_6$$

と定める。等式制約は

$$\begin{aligned} \frac3{10}x_1+\frac1{10}x_2+x_3&=\frac{27}{10},\\ \frac12x_1+\frac12x_2+x_4&=6,\\ \frac35x_1+\frac25x_2-x_5+x_6&=6. \end{aligned}$$

各表の基底変数を $x_{B_i}$，その目的関数係数を $c_{B_i}$ とする。$z_j=\sum_i c_{B_i}a_{ij}$，$\Delta_j=c_j-z_j$ とし，正の $\Delta_j$ が最大の変数を基底に入れる。右辺列の $z_j$ は現在の目的関数値を表す。以下の表はこの変数名・符号規約に従う。

問 3-1

初期基底を $(x_3,x_4,x_6)$ とすれば，その値は $(27/10,6,6)$ である。$c_j=(2/5,1/2,0,-M,0,-M)$ より，初期表は次のようになる。

基底／評価行	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	右辺
$x_3$	$3/10$	$1/10$	$1$	$0$	$0$	$0$	$27/10$
$x_4$	$1/2$	$1/2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$6$
$x_6$	$3/5$	$2/5$	$0$	$0$	$-1$	$1$	$6$
$z_j$	$-11M/10$	$-9M/10$	$0$	$-M$	$M$	$-M$	$-12M$
$\Delta_j$	$11M/10+2/5$	$9M/10+1/2$	$0$	$0$	$-M$	$0$	—

問 3-2

初期の非基底変数は $\boxed{x_1,x_2,x_5}$ であり，いずれも $0$ に設定する。

問 3-3

$M$ が十分大きいとき，初期表で最大の正の評価値を持つのは $x_1$ である。$x_1$ 列の正の係数に対する比は

$$\frac{27/10}{3/10}=9,\qquad \frac{6}{1/2}=12,\qquad \frac{6}{3/5}=10.$$

最小比は $9$ なので，$x_1$ を入れ，$x_3$ を出す。第1行の $3/10$ をピボットにすると，第2表は次のようになる。

基底／評価行	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	右辺
$x_1$	$1$	$1/3$	$10/3$	$0$	$0$	$0$	$9$
$x_4$	$0$	$1/3$	$-5/3$	$1$	$0$	$0$	$3/2$
$x_6$	$0$	$1/5$	$-2$	$0$	$-1$	$1$	$3/5$
$z_j$	$2/5$	$2/15-8M/15$	$4/3+11M/3$	$-M$	$M$	$-M$	$18/5-21M/10$
$\Delta_j$	$0$	$11/30+8M/15$	$-4/3-11M/3$	$0$	$-M$	$0$	—

$x_2$ 列は，題意のとおり $1/3,1/3,1/5$ となっている。

問 3-4

第2表では $x_2$ を入れる。比は $27,9/2,3$ であり，最小比 $3$ に対応する $x_6$ を出す。第3行の $1/5$ をピボットにすると，第3表を得る。

基底／評価行	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	右辺
$x_1$	$1$	$0$	$20/3$	$0$	$5/3$	$-5/3$	$8$
$x_4$	$0$	$0$	$5/3$	$1$	$5/3$	$-5/3$	$1/2$
$x_2$	$0$	$1$	$-10$	$0$	$-5$	$5$	$3$
$z_j$	$2/5$	$1/2$	$-7/3-5M/3$	$-M$	$-11/6-5M/3$	$11/6+5M/3$	$47/10-M/2$
$\Delta_j$	$0$	$0$	$7/3+5M/3$	$0$	$11/6+5M/3$	$-11/6-8M/3$	—

ここでは $\Delta_3-\Delta_5=1/2>0$ なので，$x_3$ を入れる。正の係数を持つ行の比は

$$\frac{8}{20/3}=\frac65,\qquad \frac{1/2}{5/3}=\frac3{10}.$$

よって $x_4$ を出し，第2行の $5/3$ をピボットにすると，第4表は次のようになる。

基底／評価行	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	右辺
$x_1$	$1$	$0$	$0$	$-4$	$-5$	$5$	$6$
$x_3$	$0$	$0$	$1$	$3/5$	$1$	$-1$	$3/10$
$x_2$	$0$	$1$	$0$	$6$	$5$	$-5$	$6$
$z_j$	$2/5$	$1/2$	$0$	$7/5$	$1/2$	$-1/2$	$27/5$
$\Delta_j$	$0$	$0$	$0$	$-M-7/5$	$-1/2$	$1/2-M$	—

$M>1/2$ ならすべての評価値が非正となるため，ここで終了する。人為変数は $x_4=x_6=0$ なので元の問題に対しても実行可能であり，

$$\boxed{(x_1,x_2)=(6,6)},\qquad \boxed{z_{\max}=\frac25\cdot6+\frac12\cdot6=\frac{27}{5}=5.4}.$$

補助変数の値は $(x_3,x_4,x_5,x_6)=(3/10,0,0,0)$ である。第5表は不要である。

また，元の等式制約から $x_2=12-x_1$ を代入すると，実行可能範囲は $6\leq x_1\leq15/2$，目的関数は $6-x_1/10$ となる。これは $x_1$ に関して減少するので，$x_1=6$ で最大となり，上の結果とも一致する。