電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2026年8月実施 必須問題（数学）問2

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• 电气通信大学
• 局部极值
• 二重积分

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shank (co-authored with GPT 6.1 SOL)

Description

以下の問いに答えよ。

(1)

2 変数関数

$$f(x,y) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 4xy + 2y^2 - 12x + 12y + 7$$

とする。$y < 0$ の領域における $f(x,y)$ の極値を求めよ。

(2)

次の積分の値を求めよ。

(i)

$$I_1 = \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \left( \int_y^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \tan(x^2)\,dx \right)\,dy$$

(ii)

$$I_2 = \iint_D \frac{x}{1 - x^2 - y^2}\,dx\,dy, \qquad D = \left\{(x,y) \mid x \geq 0,\ 4(x^2 + y^2) \leq 1\right\}.$$

極値：extremum

题目描述

回答下列问题。

(1)

设二元函数

$$f(x,y) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 4xy + 2y^2 - 12x + 12y + 7.$$

求 $f(x,y)$ 在 $y < 0$ 区域内的极值。

(2)

计算下列积分。

(i)

$$I_1 = \int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \left( \int_y^{\sqrt{\frac{\pi}{3}}} \tan(x^2)\,dx \right)\,dy$$

(ii)

$$I_2 = \iint_D \frac{x}{1 - x^2 - y^2}\,dx\,dy, \qquad D = \left\{(x,y) \mid x \geq 0,\ 4(x^2 + y^2) \leq 1\right\}.$$

术语：极值（extremum）。

Kai

(1)

偏微分すると，

$$\begin{aligned} f_x&=4x^3-24x^2+36x-4y-12,\\ f_y&=-4x+4y+12. \end{aligned}$$

$f_y=0$ より $y=x-3$ であり，これを $f_x=0$ に代入すると

$$4x(x-2)(x-4)=0.$$

停留点は $(0,-3)$，$(2,-1)$，$(4,1)$ であるが，$y<0$ を満たすのは最初の二点のみである。ヘッセ行列は

$$H_f(x,y)=\begin{bmatrix} 12x^2-48x+36&-4\\ -4&4 \end{bmatrix}.$$

$(0,-3)$ では $f_{xx}=36>0$，$\det H_f=128>0$ なので極小点であり，$f(0,-3)=-11$ である。一方，$(2,-1)$ では $\det H_f=-64<0$ なので鞍点である。

したがって，$y<0$ の領域では $(0,-3)$ で極小値 $-11$ をとり，極大値は存在しない。なお，

$$f(x,y)=x^2(x-4)^2+2(y-x+3)^2-11$$

より，この極小値は同領域での最小値でもある。

(2)

(i)

$a=\sqrt{\pi/3}$ とおく。積分領域は $0\leq y\leq x\leq a$ なので，積分順序を交換すると

$$\begin{aligned} I_1 &=\int_0^a\left(\int_0^x\tan(x^2)\,dy\right)dx\\ &=\int_0^a x\tan(x^2)\,dx\\ &=\frac12\int_0^{\pi/3}\tan u\,du\\ &=-\frac12\left[\log(\cos u)\right]_0^{\pi/3} =\boxed{\frac12\log 2}. \end{aligned}$$

ここで $u=x^2$ と置換した。

(ii)

極座標 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$ を用いる。領域 $D$ は

$$0\leq r\leq\frac12, \qquad -\frac\pi2\leq\theta\leq\frac\pi2$$

と表され，$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ である。したがって，

$$\begin{aligned} I_2 &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta \int_0^{1/2}\frac{r^2}{1-r^2}\,dr\\ &=2\int_0^{1/2}\left(-1+\frac{1}{1-r^2}\right)dr\\ &=2\left[-r+\frac12\log\frac{1+r}{1-r}\right]_0^{1/2}\\ &=\boxed{\log 3-1}. \end{aligned}$$