電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2026年8月実施 必須問題（数学）問1

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• 电气通信大学
• 特征值与特征向量

Author

shank (co-authored with GPT 6.1 SOL)

Description

3 次行列 $A$ および $\mathbb{R}^3$ のベクトル $v$ を次で定義する。

$$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}, \qquad v = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

1. $A$ の固有値をすべて求めよ。
2. $A$ の最小の固有値に対する固有空間の基底を求めよ。
3. $n$ を自然数とする。$A^n v$ の第 2 成分を $n$ の式で表せ。

固有値：eigenvalue，固有空間：eigenspace，基底：basis

题目描述

定义三阶矩阵 $A$ 和 $\mathbb{R}^3$ 中的向量 $v$ 如下：

$$A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}, \qquad v = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

1. 求 $A$ 的全部特征值。
2. 求 $A$ 的最小特征值所对应的特征子空间的一组基。
3. 设 $n$ 为自然数，用关于 $n$ 的表达式表示 $A^n v$ 的第 2 个分量。

术语：特征值（eigenvalue），特征子空间（eigenspace），基（basis）。

Kai

(1)

特性多項式は

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=\lambda^3-7\lambda^2+15\lambda-9\\ &=(\lambda-1)(\lambda-3)^2. \end{aligned}$$

したがって，固有値は $1$ と $3$ であり，代数的重複度はそれぞれ $1$ と $2$ である。

(2)

最小の固有値は $1$ である。$u=(a,b,c)^{\mathsf T}$ に対して $(A-I)u=0$ を解くと，

$$\begin{cases} 4a+4b-2c=0,\\ -a+c=0,\\ 2a+4b=0 \end{cases}$$

より，$c=a$，$b=-a/2$ を得る。

よって固有空間は

$$E_1=\left\{ t\begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix} \;\middle|\;t\in\mathbb R \right\},$$

その基底の一つは $\left\{(2,-1,2)^{\mathsf T}\right\}$ である。

(3)

次のベクトルを用いる。

$$u_1=\begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix}, \qquad u_3=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}.$$

直接計算すると $Au_1=u_1$，$Au_3=3u_3$ であり，$v=(u_1+u_3)/2$ である。したがって，

$$A^n v =\frac12u_1+\frac{3^n}{2}u_3 =\begin{bmatrix} 1-3^n\\ \dfrac{3^n-1}{2}\\ 1 \end{bmatrix}.$$

求める第 2 成分は $\boxed{(3^n-1)/2}$ である。