電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2025年8月実施 選択問題 確率・オペレーションズリサーチ

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Central-Limit-Theorem
• Zero-Covariance-does-not-Imply-Independence
• Exponential-Distribution
• Moment-Generating-Function
• Production-Planning

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

この科目では問1に必ず解答し、問2または問3の一方を選択する。ここでは全問を扱う。

問1

$X_1,X_2,\ldots$ は互いに独立で、確率 $0.5$ で $1$、確率 $0.5$ で $-1$ をとる。 $Y_n=\sum_{i=1}^nX_i$ とする。

1. $X_1$ の期待値と標準偏差を求めよ。
2. $Y_n$ の期待値と標準偏差を求めよ。
3. 中心極限定理を用いて $P(Y_{10000}>300)$ を近似せよ。
4. $Z_1=X_1$, $Z_2=\frac12Z_1+aX_2$ $(a>0)$ とする。 $Z_2$ と $Z_1-Z_2$ の相関係数が 0 となる $a$ を求めよ。
5. (4) の場合、$Z_2$ と $Z_1-Z_2$ は独立か。

問2

製品の故障までの時間 $X$ の確率密度関数が

$$f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x>0,\\ 0,&x\le0 \end{cases} \qquad(\lambda>0)$$

である。

1. 分布名を答えよ。
2. $E[X]$ と $V[X]$ を求めよ。
3. モーメント母関数 $M_X(t)$ を求めよ。ただし $t<\lambda$ とする。
4. $0<a<b$ に対して $P(a<X\le b)$ を求めよ。
5. $P_1=P(X\le b\mid X>a)$、$P_2=P(0<X\le b-a)$ とし、大小を比較せよ。

問3

$10$ 万 $\mathrm{m}^2$ の土地でナス、トマト、ピーマンを栽培する。

作物	栽培費用 [万円/$10^4\mathrm{m}^2$]	売値 [万円/トン]	収穫高 [トン/$10^4\mathrm{m}^2$]	販売上限 [トン]
ナス	400	40	25	90
トマト	900	35	40	140
ピーマン	800	60	30	120

作付面積をそれぞれ $x_1,x_2,x_3$ [$10^4\mathrm{m}^2$] とする。

1. 総利益を最大化する問題を線形計画問題として定式化せよ。
2. スラック変数 $x_4,x_5,x_6,x_7$ を用いて等式制約に直せ。
3. シンプレックス法で最適作付面積と最大総利益を求めよ。

题目描述

第 1 题研究独立的对称 $\pm1$ 随机变量之和，用中心极限定理近似尾概率， 并判断两个不相关随机变量是否独立。第 2 题求指数分布的矩、矩母函数、区间概率和无记忆性。 第 3 题把三种作物的种植规划写成线性规划，并用单纯形法求最优方案。

Kai

問1

(1)

$$E[X_1]=0,\qquad V[X_1]=1.$$

よって

$$\boxed{\text{期待値 }0,\quad\text{標準偏差 }1}.$$

(2)

独立性より

$$E[Y_n]=0,\qquad V[Y_n]=n.$$

したがって

$$\boxed{\text{期待値 }0,\quad\text{標準偏差 }\sqrt n}.$$

(3)

中心極限定理より $Y_{10000}/100\simeq N(0,1)$ なので、

$$P(Y_{10000}>300)\simeq P(N(0,1)>3) =1-\Phi(3)=\boxed{0.00135}.$$

(4)

$$Z_2=\frac12X_1+aX_2,\qquad Z_1-Z_2=\frac12X_1-aX_2.$$

$X_1,X_2$ は独立で分散が 1 だから、

$$\operatorname{Cov}(Z_2,Z_1-Z_2)=\frac14-a^2.$$

$a>0$ より

$$\boxed{a=\frac12}.$$

(5)

独立ではない。$a=1/2$ のとき、$Z_2=1$ なら $X_1=X_2=1$ なので必ず $Z_1-Z_2=0$ である。 一方、$Z_2=0$ なら $X_1=-X_2$ なので $Z_1-Z_2=\pm1$ となる。 したがって条件付き分布が異なる。

問2

(1)

$$\boxed{\text{指数分布}}$$

(2)

$$\boxed{E[X]=\frac1\lambda,\qquad V[X]=\frac1{\lambda^2}}.$$

(3)

$$M_X(t)=\int_0^\infty e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}\,dx =\boxed{\frac{\lambda}{\lambda-t}}\qquad(t<\lambda).$$

(4)

$$\boxed{P(a<X\le b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}}.$$

(5)

$$P_1=\frac{e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}}{e^{-\lambda a}} =1-e^{-\lambda(b-a)}=P_2.$$

よって

$$\boxed{P_1=P_2}.$$

問3

(1)

1 単位面積当たりの利益はそれぞれ $25\cdot40-400=600$、$40\cdot35-900=500$、 $30\cdot60-800=1000$ 万円である。したがって

$$\begin{aligned} \text{maximize}\quad &z=600x_1+500x_2+1000x_3,\\ \text{subject to}\quad &x_1+x_2+x_3\le10,\\ &25x_1\le90,\quad40x_2\le140,\quad30x_3\le120,\\ &x_1,x_2,x_3\ge0. \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=10,\\ 25x_1+x_5=90,\\ 40x_2+x_6=140,\\ 30x_3+x_7=120,\\ x_i\ge0\quad(i=1,\ldots,7). \end{cases}$$

(3)

シンプレックス法では順に

$$x_3\leftrightarrow x_7,\qquad x_1\leftrightarrow x_5,\qquad x_2\leftrightarrow x_4$$

と基底を交換すると最適表を得る。よって

$$\boxed{(x_1^*,x_2^*,x_3^*)=\left(\frac{18}{5},\frac{12}{5},4\right)}$$

であり、最大総利益は

$$\boxed{z^*=600\cdot\frac{18}{5}+500\cdot\frac{12}{5}+1000\cdot4 =7360\text{ 万円}}$$

である。