電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2025年8月実施 必須問題（数学）問2

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1)

2 変数関数

$$f(x,y)=xy^2+2x^2-2xy-3x+1$$

と、$xy$ 平面上で $f(x,y)=0$ が定める曲線 $C$ を考える。

1. 曲線 $C$ 上の点 $(1,2)$ における法線の方程式を求めよ。
2. 関数 $f(x,y)$ の極値をすべて求めよ。

(2)

次の積分を求めよ。

$$I=\iint_D\sqrt{xy}\,dx\,dy, \qquad D=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ \sqrt{x}+\sqrt{y}\le1\}.$$

题目描述

对函数 $f(x,y)=xy^2+2x^2-2xy-3x+1$，求隐式曲线 $f(x,y)=0$ 在点 $(1,2)$ 处的法线，并求 $f$ 的全部极值。另计算区域 $D=\{x,y\ge0,\sqrt x+\sqrt y\le1\}$ 上的二重积分 $\iint_D\sqrt{xy}\,dx\,dy$。

Kai

(1)(i)

$$f_x=y^2+4x-2y-3, \qquad f_y=2xy-2x.$$

$(1,2)$ では $\nabla f=(1,2)$ であり、これは法線の方向ベクトルである。 よって

$$y-2=2(x-1), \qquad \boxed{y=2x}.$$

(1)(ii)

$f_x=f_y=0$ を解く。$f_y=2x(y-1)=0$ より、停留点は

$$(0,3),\quad(0,-1),\quad(1,1)$$

である。Hesse 行列は

$$H=\begin{pmatrix}4&2y-2\\2y-2&2x\end{pmatrix}.$$

$(0,3),(0,-1)$ では $\det H=-16<0$ なので鞍点である。 $(1,1)$ では

$$H(1,1)=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}>0$$

であるから、$(1,1)$ で極小となる。したがって

$$\boxed{\text{極小値 }f(1,1)=-1}$$

であり、極大値は存在しない。

(2)

$x=u^2$, $y=v^2$ とおくと、$u,v\ge0$, $u+v\le1$ であり、 $dx\,dy=4uv\,du\,dv$ である。したがって

$$\begin{aligned} I &=4\int_0^1\int_0^{1-u}u^2v^2\,dv\,du\\ &=\frac43\int_0^1u^2(1-u)^3\,du =\boxed{\frac1{45}}. \end{aligned}$$