電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2025年8月実施 必須問題（数学）問1

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

4 次正方行列 $A$ とベクトル $u\in\mathbb R^4$ を

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{pmatrix}, \qquad u=\begin{pmatrix}4\\-1\\-5\\2\end{pmatrix}$$

とする。

1. $Au$ を求めよ。

2. $A$ の固有値をすべて求めよ。

3. 次元が 3 の固有空間を $V$ とする。

   $$p_1=\begin{pmatrix}\alpha\\1\\0\\0\end{pmatrix},\quad p_2=\begin{pmatrix}\beta\\0\\1\\0\end{pmatrix},\quad p_3=\begin{pmatrix}\gamma\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$

   に対して、$(p_1,p_2,p_3)$ が $V$ の基底となるように $\alpha,\beta,\gamma$ を定めよ。

题目描述

给定四阶矩阵 $A$ 与向量 $u$ 如上。求 $Au$ 和 $A$ 的全部特征值；再确定 $\alpha,\beta,\gamma$，使 $p_1,p_2,p_3$ 构成三维特征子空间的一组基。

Kai

(1)

$$Au= \begin{pmatrix} -1-5+2\\4-5+2\\4-1+2\\4-1-5 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}-4\\1\\5\\-2\end{pmatrix}}.$$

(2)

$J$ を全成分が 1 の $4$ 次行列とすると $A=J-I$ である。 $\boldsymbol 1=(1,1,1,1)^{\mathsf T}$ に対して $A\boldsymbol 1=3\boldsymbol 1$ であり、 $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ なら $Ax=-x$ である。

したがって固有値は

$$\boxed{3,\ -1,\ -1,\ -1}$$

である。

(3)

3 次元の固有空間は

$$V=\left\{x\in\mathbb R^4\mid x_1+x_2+x_3+x_4=0\right\}$$

である。$p_1,p_2,p_3\in V$ より

$$\alpha+1=\beta+1=\gamma+1=0.$$

この三つは互いに一次独立なので、

$$\boxed{\alpha=\beta=\gamma=-1}$$

である。