電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2024年8月実施 選択問題 計算機工学 4-1

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

問1 文脈自由文法

$$P_1=\{S_1\to a, S_1\to S_1S_1\},$$

$$P_2=\{S_2\to AB, S_2\to AC, A\to b, B\to c, C\to S_2B\}$$

で定義される文法 $G_1,G_2$ について、生成言語を求めよ。$L_3=L(G_1)L(G_2)$ の文法を構成せよ。また、

$$L_4=\{a^ib^ic^j\mid i,j\geq1\}$$

の文法と、abcc、aabbc の導出木を示せ。最後に $L_3\cup L_4$ と $L_3\cap L_4$ を記述し、文脈自由言語か答えよ。

問2 決定性有限オートマトン

$\Sigma=\{a,b\}$ とする。aa または bb を連続部分文字列として含む語の言語を $L_1$、$a,b$ をともに一個以上含む語の言語を $L_2$ とする。各言語および $L_1\cap L_2$ を受理する DFA を構成せよ。

题目描述

根据给定生成规则写出语言，构造语言连接与指定语言的上下文无关文法，判断并集和交集是否为上下文无关语言；再为两个字符串条件及其交集构造确定有限自动机。

Kai

問1

(1)

$$\boxed{L(G_1)=\{a^i\mid i\geq1\}}, \qquad \boxed{L(G_2)=\{b^jc^j\mid j\geq1\}}.$$

(2)

新しい開始記号を $S_3$ とすれば、

$$\boxed{P_3=P_1\cup P_2\cup\{S_3\to S_1S_2\}}$$

でよい。このとき

$$L_3=\{a^ib^jc^j\mid i,j\geq1\}.$$

(3)

例えば

$$\boxed{ P_4=\{S_4\to TC, T\to aTb\mid ab, C\to cC\mid c\}}$$

とすれば $L(G_4)=L_4$ である。

(4)

導出は

$$S_4\Rightarrow TC\Rightarrow abC\Rightarrow abcC\Rightarrow abcc,$$

$$S_4\Rightarrow TC\Rightarrow aTbC\Rightarrow aabbC\Rightarrow aabbc$$

であり、対応する導出木は次のとおりである。

        S4                      S4
       /  \                    /  \
      T    C                  T    C
     / \  / \              / | \   \
    a   b c   C            a  T  b   c
              |              / \
              c             a   b

(5)

$$\boxed{ L_3\cup L_4 =\{a^ib^jc^k\mid i,j,k\geq1, j=k\text{ または }i=j\}}$$

は文脈自由言語の和なので文脈自由言語である。一方、

$$\boxed{L_3\cap L_4=\{a^nb^nc^n\mid n\geq1\}}$$

は文脈自由言語ではない。

問2

(1)

例として

$$L_1:\ aa,bb,abb,\qquad L_2:\ ab,ba,aab$$

が挙げられる。

(2) $L_1$ の DFA

$p_F$ のみを受理状態とし、遷移を次表で定める。

$\delta_1$	$a$	$b$
$p_0$	$p_a$	$p_b$
$p_a$	$p_F$	$p_b$
$p_b$	$p_a$	$p_F$
$p_F$	$p_F$	$p_F$

(3) $L_2$ の DFA

$q_F$ のみを受理状態とし、遷移を次表で定める。

$\delta_2$	$a$	$b$
$q_0$	$q_a$	$q_b$
$q_a$	$q_a$	$q_F$
$q_b$	$q_F$	$q_b$
$q_F$	$q_F$	$q_F$

(4)

$L_1\cap L_2$ に属する語の例は

$$\boxed{aab, abb, baa}$$

である。

(5) $L_1\cap L_2$ の DFA

$r_A,r_B$ は「両記号を見たが同一記号の連続はなく、末尾がそれぞれ $a,b$」を表す。$r_F$ のみを受理状態として、次表で定めればよい。

$\delta_3$	$a$	$b$
$r_0$	$r_a$	$r_b$
$r_a$	$r_{aa}$	$r_B$
$r_b$	$r_A$	$r_{bb}$
$r_{aa}$	$r_{aa}$	$r_F$
$r_{bb}$	$r_F$	$r_{bb}$
$r_A$	$r_F$	$r_B$
$r_B$	$r_A$	$r_F$
$r_F$	$r_F$	$r_F$