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電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2024年8月実施 選択問題 確率・オペレーションズリサーチ

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

この科目では問1に必ず解答し、問2または問3の一方を選択する。ここでは全問を扱う。

問1​

箱に入った 100 個のクジから一つを引く。数字を X∈{0,1,5,10}X\in\{0,1,5,10\}、 色に応じた倍率を Y∈{a2,a,1}Y\in\{a^2,a,1\} とし、得点を Z=XYZ=XY とする。 aa は 2 以上の自然数であり、同時確率は次の表で与えられる。

色・倍率 YYX=0X=0X=1X=1X=5X=5X=10X=10
赤・a2a^212/10012/1005/1005/1002/1002/1001/1001/100
黄・aa4/1004/10010/10010/10014/10014/10012/10012/100
青・11000020/10020/10020/10020/100
  1. YY の周辺確率を求めよ。
  2. Y=a2Y=a^2 のもとでの XX の条件付き確率を求めよ。
  3. E[Z]E[Z] を求めよ。
  4. 数字は見えず色だけ見えるとき、E[Z∣Y]E[Z\mid Y] が最大となる色を aa の値で場合分けして答えよ。

問2 A​

クッキー 1 個の重量は N(20,42)N(20,4^2) [g]、空箱の重量は N(300,92)N(300,9^2) [g] に従う。1 箱にはクッキーを 100 個入れる。

  1. 製品 1 箱の重量の分布を求めよ。
  2. 規格を 21772177 g 以上 24232423 g 以下とするとき、不適合となる確率を求めよ。

問2 B​

X1,…,XnX_1,\ldots,X_n は互いに独立で、平均 μ\mu の指数分布

f(x)=1μe−x/μ(x≥0)f(x)=\frac1\mu e^{-x/\mu}\qquad(x\ge0)

に従う。Sn=∑i=1nXiS_n=\sum_{i=1}^nX_i とする。

  1. E[Sn/n]E[S_n/n] を求めよ。

  2. V[Sn/n]V[S_n/n] を求めよ。

  3. 中心極限定理により Sn/nS_n/n の標本分布を近似せよ。

  4. SnS_n の確率密度関数が

    fn(x)=xn−1e−x/μ(n−1)!μn(x≥0)f_n(x)=\frac{x^{n-1}e^{-x/\mu}}{(n-1)!\mu^n}\qquad(x\ge0)

    であることを数学的帰納法で示せ。

問3​

次の線形計画問題をシンプレックス法で解く。

maximize−x1+x2+2x3,subject tox1+2x2−x3≤20,−2x1+4x2+2x3≤60,2x1+3x2+x3≤50,x1,x2,x3≥0.\begin{aligned} \text{maximize}\quad&-x_1+x_2+2x_3,\\ \text{subject to}\quad &x_1+2x_2-x_3\le20,\\ &-2x_1+4x_2+2x_3\le60,\\ &2x_1+3x_2+x_3\le50,\\ &x_1,x_2,x_3\ge0. \end{aligned}
  1. スラック変数 x4,x5,x6x_4,x_5,x_6 を導入し、初期シンプレックス表を作れ。
  2. 最初に基底へ入れる非基底変数を答えよ。
  3. 1 回目の更新後の表を完成せよ。x2x_2 列の係数は上から 4,2,14,2,1 となる。
  4. 最適解と最適目的関数値を求めよ。

题目描述​

第 1 题根据抽签数字与颜色倍率的联合分布，求边缘分布、条件分布、期望和最优选色策略。 第 2 题的 A、B 两案分别考查正态变量之和及指数分布样本均值与 Erlang 分布的归纳证明。 第 3 题要求完整执行单纯形法并求线性规划的最优解。

Kai​

問1​

(1)​

各行を加えると

P(Y=a2)=0.20,P(Y=a)=0.40,P(Y=1)=0.40.\boxed{P(Y=a^2)=0.20,\qquad P(Y=a)=0.40,\qquad P(Y=1)=0.40}.

(2)​

P(Y=a2)=20/100P(Y=a^2)=20/100 なので、

x01510P(X=x∣Y=a2)3514110120\boxed{ \begin{array}{c|cccc} x&0&1&5&10\\\hline P(X=x\mid Y=a^2)&\frac35&\frac14&\frac1{10}&\frac1{20} \end{array}}

である。

(3)​

E[Z]=5+10+10100a2+10+70+120100a+100+200100=14a2+2a+3.\begin{aligned} E[Z] &=\frac{5+10+10}{100}a^2 +\frac{10+70+120}{100}a +\frac{100+200}{100}\\ &=\boxed{\frac14a^2+2a+3}. \end{aligned}

(4)​

色ごとの条件付き期待値は

E[Z∣赤]=54a2,E[Z∣黄]=5a,E[Z∣青]=152.E[Z\mid\text{赤}]=\frac54a^2, \qquad E[Z\mid\text{黄}]=5a, \qquad E[Z\mid\text{青}]=\frac{15}{2}.

a≥2a\ge2 より、最適な色は

{黄,a=2,3,赤または黄,a=4,赤,a≥5\boxed{ \begin{cases} \text{黄},&a=2,3,\\ \text{赤または黄},&a=4,\\ \text{赤},&a\ge5 \end{cases}}

である。

問2 A​

(1)​

独立な正規確率変数の和より、平均と分散は

100⋅20+300=2300,100⋅42+92=1681=412.100\cdot20+300=2300, \qquad100\cdot4^2+9^2=1681=41^2.

したがって製品重量 WW は

W∼N(2300,412).\boxed{W\sim N(2300,41^2)}.

(2)​

2177=2300−3⋅412177=2300-3\cdot41、2423=2300+3⋅412423=2300+3\cdot41 なので、

P(W<2177 または W>2423)=P(∣N(0,1)∣>3)=2(1−Φ(3))≈0.00270.\begin{aligned} P(W<2177\text{ または }W>2423) &=P(|N(0,1)|>3)\\ &=2(1-\Phi(3)) \approx\boxed{0.00270}. \end{aligned}

問2 B​

(1)​

E[Snn]=μ.\boxed{E\left[\frac{S_n}{n}\right]=\mu}.

(2)​

指数分布の分散は μ2\mu^2 であるから、独立性より

V[Snn]=μ2n.\boxed{V\left[\frac{S_n}{n}\right]=\frac{\mu^2}{n}}.

(3)​

中心極限定理より、nn が十分大きいとき

Snn ∼˙ N(μ,μ2n).\boxed{\frac{S_n}{n}\ \dot\sim\ N\left(\mu,\frac{\mu^2}{n}\right)}.

(4)​

n=1n=1 では提示された指数分布の密度そのものである。 n=kn=k で式が成立すると仮定すると、畳み込みにより

fk+1(x)=∫0xfk(t)f1(x−t) dt=e−x/μ(k−1)!μk+1∫0xtk−1 dt=xke−x/μk!μk+1.\begin{aligned} f_{k+1}(x) &=\int_0^xf_k(t)f_1(x-t)\,dt\\ &=\frac{e^{-x/\mu}}{(k-1)!\mu^{k+1}} \int_0^xt^{k-1}\,dt\\ &=\frac{x^ke^{-x/\mu}}{k!\mu^{k+1}}. \end{aligned}

よって数学的帰納法により、すべての n≥1n\ge1 で

fn(x)=xn−1e−x/μ(n−1)!μn\boxed{f_n(x)=\frac{x^{n-1}e^{-x/\mu}}{(n-1)!\mu^n}}

が成立する。

問3​

(1)​

等式制約は

{x1+2x2−x3+x4=20,−2x1+4x2+2x3+x5=60,2x1+3x2+x3+x6=50,xi≥0.\begin{cases} x_1+2x_2-x_3+x_4=20,\\ -2x_1+4x_2+2x_3+x_5=60,\\ 2x_1+3x_2+x_3+x_6=50, \end{cases} \qquad x_i\ge0.

初期表は次のとおりである。

基底cBc_Bx1x_1x2x_2x3x_3x4x_4x5x_5x6x_6定数項
x4x_4012-110020
x5x_50-24201060
x6x_6023100150
zjz_j0000000
cj−zjc_j-z_j-112000

初期実行基底解は

(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(0,0,0,20,60,50)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(0,0,0,20,60,50)

である。

(2)​

cj−zjc_j-z_j が最大なのは x3x_3 列なので、

x3 を基底へ入れる.\boxed{x_3\text{ を基底へ入れる}}.

比率検定より x5x_5 が基底から出る。

(3)​

第 2 行の x3x_3 の係数 2 をピボットとすると、

基底cBc_Bx1x_1x2x_2x3x_3x4x_4x5x_5x6x_6定数項
x4x_4004011/21/2050
x3x_32-12101/21/2030
x6x_603100−1/2-1/2120
zjz_j-24201060
cj−zjc_j-z_j1-300-10

となる。

(4)​

次に x1x_1 を基底へ入れ、x6x_6 を基底から出す。最終表は

基底cBc_Bx1x_1x2x_2x3x_3x4x_4x5x_5x6x_6定数項
x4x_4004011/21/2050
x3x_3207/37/3101/31/31/31/3110/3110/3
x1x_1-111/31/300−1/6-1/61/31/320/320/3
zjz_j-113/313/3205/65/61/31/3200/3200/3
cj−zjc_j-z_j0−10/3-10/300−5/6-5/6−1/3-1/3

である。すべての cj−zj≤0c_j-z_j\le0 なので、

(x1,x2,x3)=(203,0,1103),zmax⁡=2003.\boxed{(x_1,x_2,x_3)=\left(\frac{20}{3},0,\frac{110}{3}\right)}, \qquad \boxed{z_{\max}=\frac{200}{3}}.
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