電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2024年8月実施 必須問題 微分積分

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Implicit-Differentiation
• Double-Integral

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. $f(x,y)=x^2y-xy^2-2$ とする。点 $(-1,-2)$ の近傍で $f(x,y)=0$ が定める陰関数 $y=\varphi(x)$ について、$\varphi'(x)$ を $x,y$ の有理式で表し、$\varphi''(-1)$ を求めよ。
2. 次の二重積分を求めよ。

$$I_1=\iint_{D_1}y\cos(x-y)\,dx\,dy, \quad D_1=\left\{(x,y)\mid x\geq0, y\geq0, x+y\leq\frac\pi2\right\},$$

$$I_2=\iint_{D_2}\frac{dx\,dy}{\sqrt{x^2+y^2}(1-x^2-y^2)}, \quad D_2=\left\{(x,y)\mid x\geq0, y\geq0, \frac14\leq x^2+y^2\leq\frac34\right\}.$$

题目描述

对一个二元方程所定义的隐函数求一、二阶导数，并计算三角形区域上的二重积分与第一象限圆环区域上的二重积分。

Kai

(1)

$f_x=2xy-y^2$、$f_y=x^2-2xy$ であり、$f_y(-1,-2)=-3\ne0$ である。よって

$$\boxed{\varphi'(x)=-\frac{f_x}{f_y} =-\frac{2xy-y^2}{x^2-2xy}}.$$

また、

$$\varphi''=-\frac{f_{xx}+2f_{xy}\varphi'+f_{yy}(\varphi')^2}{f_y}.$$

$\varphi'(-1)=0$、$f_{xx}(-1,-2)=-4$ より

$$\boxed{\varphi''(-1)=-\frac43}.$$

(2)

(i)

$$\begin{aligned} I_1 &=\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2-y}y\cos(x-y)\,dx\,dy\\ &=\int_0^{\pi/2}y(\cos2y+\sin y)\,dy =-\frac12+1 =\boxed{\frac12}. \end{aligned}$$

(ii)

極座標 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ を用いると

$$\begin{aligned} I_2 &=\int_0^{\pi/2}\int_{1/2}^{\sqrt3/2}\frac{1}{1-r^2}\,dr\,d\theta\\ &=\frac\pi2\left[\frac12\log\frac{1+r}{1-r}\right]_{1/2}^{\sqrt3/2}\\ &=\boxed{\frac\pi2\log\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3}}. \end{aligned}$$