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電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2024年8月実施 必須問題 線形代数

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

c∈Rc\in\mathbb R とし、

A=(3−527−1231−2−1),B=(−23103+c9−c2−23−8+c2)A=\begin{pmatrix}3&-5&2\\7&-12&3\\1&-2&-1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} -2&3&1\\ 0&3+c&9-c^2\\ -2&3&-8+c^2 \end{pmatrix}

とする。線形写像 f(x)=Axf(\boldsymbol x)=A\boldsymbol x、g(x)=Bxg(\boldsymbol x)=B\boldsymbol x について答えよ。

  1. AA の第 ii 列を ai\boldsymbol a_i とする。a3\boldsymbol a_3 を a1,a2\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2 の一次結合で表し、dim⁡Im⁡f\dim\operatorname{Im}f を求めよ。
  2. dim⁡ker⁡g≠0\dim\ker g\ne0 となる cc の条件を求めよ。
  3. dim⁡(Im⁡f∩ker⁡g)≠0\dim(\operatorname{Im}f\cap\ker g)\ne0 となる cc の条件を求めよ。

题目描述​

给出两个含参数矩阵所定义的三维线性映射，求列向量的线性关系与像空间维数，并分别判断核非平凡以及像空间与核有非零交集时参数的取值。

Kai​

(1)​

直接計算すると

a3=9a1+5a2.\boxed{\boldsymbol a_3=9\boldsymbol a_1+5\boldsymbol a_2}.

a1,a2\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2 は一次独立であるから

dim⁡Im⁡f=2.\boxed{\dim\operatorname{Im}f=2}.

(2)​

det⁡B=−2(c−3)(c+3)2.\det B=-2(c-3)(c+3)^2.

よって

dim⁡ker⁡g≠0  ⟺  c=±3.\boxed{\dim\ker g\ne0\iff c=\pm3}.

(3)​

Im⁡f=span⁡{a1,a2}\operatorname{Im}f=\operatorname{span}\{\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2\} である。したがって、ある (s,t)≠(0,0)(s,t)\ne(0,0) に対して

B(sa1+ta2)=0B(s\boldsymbol a_1+t\boldsymbol a_2)=\boldsymbol0

となる条件を求めればよい。B(a1,a2)B(\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2) の三つの 22 次小行列式は

4(c+3)(c−2),−4(c−3)(c+3),−2(c+3)(c2+2c−13)4(c+3)(c-2),\qquad -4(c-3)(c+3),\qquad -2(c+3)(c^2+2c-13)

である。これらが同時に 00 となるのは c=−3c=-3 のときだけである。実際、c=−3c=-3 では

7a1+4a2=(1,1,−1)T∈ker⁡g.7\boldsymbol a_1+4\boldsymbol a_2=(1,1,-1)^T\in\ker g.

ゆえに

dim⁡(Im⁡f∩ker⁡g)≠0  ⟺  c=−3.\boxed{\dim(\operatorname{Im}f\cap\ker g)\ne0\iff c=-3}.
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