電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2023年8月実施 必須問題 微分積分

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• 二重积分

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1)

$$f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=f(x-y-1,\,2x+y-2)+19$$

とする。曲面 $z=g(x,y)$ 上の点 $(1,1,g(1,1))$ における接平面を $z=h(x,y)$ と書くとき、$h(x,y)$ を求めよ。

(2)

次の重積分を求めよ。

$$I=\iint_D\frac{dx\,dy}{x+y+1},\qquad D=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ 0\le y\le1\},$$

$$J=\iint_E\frac{x}{x^2+y^2}\,dx\,dy,\qquad E=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le2x,\ y\ge0\}.$$

题目描述

求给定二元函数曲面在指定点的切平面，并分别在单位正方形区域和由两个圆弧围成的区域上计算二重积分。

Kai

(1)

$$g(1,1)=21,\qquad g_x(1,1)=2,\qquad g_y(1,1)=4.$$

ゆえに

$$z-21=2(x-1)+4(y-1),$$

したがって

$$\boxed{h(x,y)=2x+4y+15}.$$

(2)

(i)

$$\begin{aligned} I &=\int_0^1\{\log(y+2)-\log(y+1)\}\,dy\\ &=\boxed{3\log3-4\log2}. \end{aligned}$$

(ii)

極座標 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ を用いると

$$0\le\theta\le\frac{\pi}{3},\qquad 1\le r\le2\cos\theta.$$

よって

$$\begin{aligned} J &=\int_0^{\pi/3}\int_1^{2\cos\theta}\cos\theta\,dr\,d\theta\\ &=\boxed{\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}}. \end{aligned}$$