電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2023年8月実施 必須問題 線形代数

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• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

行列 $A$ とベクトル $\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2,\boldsymbol p_3$ を

$$A=\begin{pmatrix} -4&2&-1&-7\\ 0&5&-3&0\\ 0&4&-3&0\\ 3&-2&1&6 \end{pmatrix},\quad \boldsymbol p_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol p_2=\begin{pmatrix}7\\1\\2\\-3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol p_3=\begin{pmatrix}9\\2\\4\\-1\end{pmatrix}$$

とする。

1. $\boldsymbol p_3$ を $\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2$ の一次結合で表せ。
2. $\boldsymbol p_1,\boldsymbol p_2$ が $A$ の固有ベクトルであることを示し、固有値を求めよ。
3. 正の整数 $n$ に対し、$A^n\boldsymbol p_3$ の第 $4$ 成分を求めよ。

题目描述

给定一个四阶矩阵和三个四维向量，将第三个向量表示为前两个向量的线性组合，求前两个向量对应的特征值，并求 $A^n\boldsymbol p_3$ 的第 4 个分量。

Kai

(1)

各成分を比較すると

$$\boxed{\boldsymbol p_3=-5\boldsymbol p_1+2\boldsymbol p_2}.$$

(2)

直接計算により

$$A\boldsymbol p_1= \begin{pmatrix}3\\0\\0\\-3\end{pmatrix} =3\boldsymbol p_1,\qquad A\boldsymbol p_2= \begin{pmatrix}-7\\-1\\-2\\3\end{pmatrix} =-\boldsymbol p_2.$$

したがって固有値は、それぞれ

$$\boxed{3,\ -1}$$

である。

(3)

$$A^n\boldsymbol p_3 =-5\cdot3^n\boldsymbol p_1+2(-1)^n\boldsymbol p_2.$$

よって第 $4$ 成分は

$$\boxed{5\cdot3^n-6(-1)^n}.$$