電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2022年8月実施 選択問題 確率・オペレーションズリサーチ

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Expectation-and-Variance
• Markov-and-Chebyshev-Inequalities
• Random-Variable-Transformation
• Poisson-Distribution
• Central-Limit-Theorem
• Stopping-Time
• Simplex-Method

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

この科目では問1を必ず解き、問2と問3のいずれか一方を選ぶ。以下では両方を扱う。

問1

$X$ の密度を

$$f_X(x)=\left(1-\frac{x}{2}\right)I(0\le x<2)$$

とする。平均と分散を求めよ。また、$X$ と独立で $P(Y=1)=P(Y=-1)=1/2$ である $Y$ に対し、$Z=XY$ の密度と分散を求めよ。

問2

1. 独立な $X_i\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$ の和 $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ の確率関数を求め、$\lambda=5,n=20$ のとき $P(S_{20}>120)$ を求めよ。また、$S_n$ が初めて整数 $K$ を超える時刻 $N$ の確率関数を求めよ。
2. 正の確率変数 $X$ の平均を $\mu$ とする。$X\ge\mu+\delta$ のとき一回につき $a$ 枚のメダルを返すゲームについて、Markov・Chebyshev 型の評価を行え。

問3

次の線形計画問題を Simplex 法で解け。

$$\begin{array}{ll} \text{maximize}&5x_1+9x_2+7x_3,\\ \text{subject to} &x_1+3x_2+2x_3\le10,\\ &3x_1+4x_2+2x_3\le12,\\ &2x_1+x_2+2x_3\le8,\\ &x_1,x_2,x_3\ge0. \end{array}$$

题目描述

必答部分考查连续分布及随机变量乘积；选答部分分别考查 Poisson 分布、停止时刻与概率不等式，或线性规划的单纯形法。这里给出全部答案。

Kai

問1

1-1, 1-2

$$\begin{aligned} E[X] &=\int_0^2x\left(1-\frac{x}{2}\right)dx =\frac23,\\ E[X^2] &=\int_0^2x^2\left(1-\frac{x}{2}\right)dx =\frac23. \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{E[X]=\frac23},\qquad \boxed{V[X]=\frac23-\frac49=\frac29}.$$

1-3

$z>0$ では $Y=1$、$z<0$ では $Y=-1$ の場合を用いれば、

$$\boxed{ f_Z(z)= \begin{cases} \dfrac12-\dfrac{|z|}{4},&|z|<2,\\[2mm] 0,&|z|\ge2. \end{cases}}$$

1-4

$E[Y]=0$, $Y^2=1$ より

$$E[Z]=0,\qquad E[Z^2]=E[X^2]E[Y^2]=\frac23.$$

ゆえに、

$$\boxed{V[Z]=\frac23}.$$

問2 A

2-1

Poisson 分布の再生性より $S_n\sim\operatorname{Poisson}(n\lambda)$ である。したがって、

$$\boxed{ p_n(s)=P(S_n=s) =e^{-n\lambda}\frac{(n\lambda)^s}{s!} \quad(s=0,1,\ldots)}.$$

2-2

$S_{20}\sim\operatorname{Poisson}(100)$ なので、

$$\boxed{ P(S_{20}>120) =1-\sum_{s=0}^{120}e^{-100}\frac{100^s}{s!} \simeq0.02267}.$$

標準正規近似では

$$P(S_{20}>120)\simeq1-\Phi(2)=0.0228$$

となる。

2-3

$N=n$ は $S_{n-1}\le K<S_n$ と同値である。したがって $n\ge1$ に対し、

$$\begin{aligned} P(N=n) &=P(S_{n-1}\le K)-P(S_n\le K)\\ &=\boxed{\sum_{s=0}^{K}\{p_{n-1}(s)-p_n(s)\}}. \end{aligned}$$

問2 B

2-4

Markov の不等式より、

$$\boxed{ P(X\ge\mu+\delta)\le\frac{\mu}{\mu+\delta}}.$$

2-5

$\mu=\delta=2$ では一回の当選確率は $1/2$ 以下である。よって、10 回で返るメダル数の期待値は

$$\boxed{10a\cdot\frac12=5a\text{ 以下}}.$$

2-6

Chebyshev の不等式より、

$$\begin{aligned} P(X\ge\mu+\delta) &\le P(|X-\mu|\ge\delta)\\ &\le\boxed{\frac{\sigma^2}{\delta^2}}. \end{aligned}$$

2-7

$\mu=\delta=2,\sigma=1$ では当選確率は $1/4$ 以下である。したがって、

$$\boxed{10a\cdot\frac14=\frac{5a}{2}\text{ 以下}}.$$

問3

3-1

スラック変数 $x_4,x_5,x_6$ を導入する。最初の実行基底解は

$$\boxed{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(0,0,0,10,12,8)}.$$

3-2

0 回目の Simplex 表は次のとおりである。

基底	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	定数項
$x_4$	1	3	2	1	0	0	10
$x_5$	3	4	2	0	1	0	12
$x_6$	2	1	2	0	0	1	8
$c_j-z_j$	5	9	7	0	0	0	0

$x_2$ を入れ、最小比 $12/4=3$ を与える $x_5$ を出す。

3-3

1 回目の表は

基底	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	定数項
$x_4$	$-5/4$	0	$1/2$	1	$-3/4$	0	1
$x_2$	$3/4$	1	$1/2$	0	$1/4$	0	3
$x_6$	$5/4$	0	$3/2$	0	$-1/4$	1	5
$c_j-z_j$	$-7/4$	0	$5/2$	0	$-9/4$	0	27

である。2 回目では $x_3$ が入り $x_4$ が出る。更新された実行基底解は

$$\boxed{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(0,2,2,0,0,2)}.$$

3-4

2 回目の表は

基底	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	定数項
$x_3$	$-5/2$	0	1	2	$-3/2$	0	2
$x_2$	2	1	0	$-1$	1	0	2
$x_6$	5	0	0	$-3$	2	1	2
$c_j-z_j$	$9/2$	0	0	$-5$	$3/2$	0	32

である。$x_1$ を入れ、$x_6$ を出すと、3 回目の表は

基底	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	定数項
$x_3$	0	0	1	$1/2$	$-1/2$	$1/2$	3
$x_2$	0	1	0	$1/5$	$1/5$	$-2/5$	$6/5$
$x_1$	1	0	0	$-3/5$	$2/5$	$1/5$	$2/5$
$c_j-z_j$	0	0	0	$-23/10$	$-3/10$	$-9/10$	$169/5$

となる。すべての被約費用が非正なので最適であり、

$$\boxed{ (x_1,x_2,x_3)=\left(\frac25,\frac65,3\right), \qquad z_{\max}=\frac{169}{5}}.$$