電気通信大学情報理工学研究科情報学専攻 2022年8月実施必須問題微分積分

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

$f(x,y)=e^{2y}\sin(x^2+3y)$ の二次までの Maclaurin 展開
$f(x,y)=c_0+c_1x+c_2y+c_3x^2+c_4xy+c_5y^2+\cdots$
の係数を求めよ。
$g(x,y)=(x^2+xy)e^y$ の極値を求めよ。
円板 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le\pi^2\}$ 上の
$I=\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy$
を求めよ。

求二元函数的二阶 Maclaurin 展开系数、另一二元函数的极值，以及圆域上的二重积分。

二次まで取ると、

e^{2y}=1+2y+2y^2+\cdots,\qquad \sin(x^2+3y)=x^2+3y+\cdots.

したがって、

f(x,y)=x^2+3y+6y^2+\text{（三次以上）}.

よって、

\boxed{(c_0,c_1,c_2,c_3,c_4,c_5)=(0,0,3,1,0,6)}.

g_x=(2x+y)e^y,\qquad g_y=x(x+y+1)e^y.

したがって停留点は

(x,y)=\boxed{(0,0),\ (1,-2)}

である。Hesse 行列は

H_g=e^y \begin{pmatrix} 2&1+2x+y\\ 1+2x+y&x(x+y+2) \end{pmatrix}.

$(0,0)$ では行列式が $-1$ なので鞍点である。 $(1,-2)$ では

H_g(1,-2)=e^{-2}\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}

が正定値である。ゆえに、

\boxed{(1,-2)\text{ で極小値 }-e^{-2}},\qquad \boxed{\text{極大値なし}}.

極座標を用いると、

\begin{aligned} I &=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi r\sin r\,dr\,d\theta\\ &=2\pi[-r\cos r+\sin r]_0^\pi\\ &=\boxed{2\pi^2}. \end{aligned}