電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2022年8月実施 必須問題 線形代数

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• Matrix-Diagonalization

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

実数 $a$ に対し、

$$A=\begin{pmatrix} -1&1+a&-2\\ 0&1&0\\ 4&1-a&5 \end{pmatrix}$$

とする。

1. $A$ の固有値を求めよ。
2. 最小固有値を $\mu$ とし、$f(x)=(\mu I-A)^2x$ と定める。 $\dim\ker f$ と $\dim\operatorname{Im}f$ を求めよ。
3. $A$ が対角化可能となる $a$ の条件を求めよ。

题目描述

求含参数三阶矩阵的特征值，并计算由最小特征值构造的线性映射的核与像的维数，最后判断矩阵可对角化的参数条件。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda-1) \det\begin{pmatrix}\lambda+1&2\\-4&\lambda-5\end{pmatrix}\\ &=(\lambda-1)^2(\lambda-3). \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{\lambda=1\ \text{（重複度 }2\text{）},\qquad \lambda=3}.$$

(2)

$\mu=1$ である。直接計算すると、

$$(I-A)^2= \begin{pmatrix} -4&-4&-4\\ 0&0&0\\ 8&8&8 \end{pmatrix}.$$

この行列の階数は $1$ なので、階数・退化次数定理より

$$\boxed{\dim\ker f=2,\qquad \dim\operatorname{Im}f=1}.$$

(3)

$\lambda=3$ の固有空間は一次元である。したがって、対角化可能であるためには、重複固有値 $1$ の固有空間が二次元であればよい。

$$A-I= \begin{pmatrix} -2&1+a&-2\\ 0&0&0\\ 4&1-a&4 \end{pmatrix}.$$

第 $3$ 行が第 $1$ 行の $-2$ 倍となる条件は

$$1-a=-2(1+a),$$

ゆえに

$$\boxed{a=-3}.$$