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電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2022年8月実施 必須問題 線形代数

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

実数 aa に対し、

A=(−11+a−201041−a5)A=\begin{pmatrix} -1&1+a&-2\\ 0&1&0\\ 4&1-a&5 \end{pmatrix}

とする。

  1. AA の固有値を求めよ。
  2. 最小固有値を μ\mu とし、f(x)=(μI−A)2xf(x)=(\mu I-A)^2x と定める。 dim⁡ker⁡f\dim\ker f と dim⁡Im⁡f\dim\operatorname{Im}f を求めよ。
  3. AA が対角化可能となる aa の条件を求めよ。

题目描述​

求含参数三阶矩阵的特征值，并计算由最小特征值构造的线性映射的核与像的维数，最后判断矩阵可对角化的参数条件。

Kai​

(1)​

det⁡(λI−A)=(λ−1)det⁡(λ+12−4λ−5)=(λ−1)2(λ−3).\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda-1) \det\begin{pmatrix}\lambda+1&2\\-4&\lambda-5\end{pmatrix}\\ &=(\lambda-1)^2(\lambda-3). \end{aligned}

したがって、

λ=1 （重複度 2）,λ=3.\boxed{\lambda=1\ \text{（重複度 }2\text{）},\qquad \lambda=3}.

(2)​

μ=1\mu=1 である。直接計算すると、

(I−A)2=(−4−4−4000888).(I-A)^2= \begin{pmatrix} -4&-4&-4\\ 0&0&0\\ 8&8&8 \end{pmatrix}.

この行列の階数は 11 なので、階数・退化次数定理より

dim⁡ker⁡f=2,dim⁡Im⁡f=1.\boxed{\dim\ker f=2,\qquad \dim\operatorname{Im}f=1}.

(3)​

λ=3\lambda=3 の固有空間は一次元である。したがって、対角化可能であるためには、重複固有値 11 の固有空間が二次元であればよい。

A−I=(−21+a−200041−a4).A-I= \begin{pmatrix} -2&1+a&-2\\ 0&0&0\\ 4&1-a&4 \end{pmatrix}.

第 33 行が第 11 行の −2-2 倍となる条件は

1−a=−2(1+a),1-a=-2(1+a),

ゆえに

a=−3.\boxed{a=-3}.
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