電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2021年8月実施 選択問題 確率・オペレーションズリサーチ

标签：

• 电气通信大学
• 泊松分布
• 均匀分布
• 条件概率密度
• 相关系数
• 生产计划
• 单纯形法
• 线性规划对偶性

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

この科目では問1に必ず解答し、問2または問3の一方を選ぶ。ここでは全問を扱う。

1. 毎時間の来客数が互いに独立で平均 $\lambda$ の Poisson 分布に従うとき、積率母関数と 10 時間の合計来客数の分布・平均・分散を求めよ。
2. $X,Y$ を独立な $U(0,100)$ とし、相関係数と $P(X+Y\ge a)$（$0\le a\le200$）を求めよ。さらに $X+Y\ge120$ の条件下で、同時密度、独立性および条件付き平均を求めよ。
3. 製品 1、2 の生産量を $x_1,x_2$ とし、利益 $3x_1+5x_2$ を、制約
   $$x_1\le4,\qquad2x_2\le12,\qquad3x_1+2x_2\le18,\qquad x_1,x_2\ge0$$
   の下で最大化せよ。Simplex 法で解き、双対問題も示せ。

题目描述

考查 Poisson 分布的可加性、二维均匀分布在三角区域上的条件分布，以及生产计划线性规划的单纯形法和对偶问题。

Kai

問1

1-1

$N\sim\operatorname{Pois}(\lambda)$ より、

$$\boxed{M_N(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}}.$$

1-2

独立な Poisson 確率変数の和も Poisson 分布に従うので、10 時間の合計 $S$ は

$$\boxed{S\sim\operatorname{Pois}(10\lambda)}.$$

1-3

$$\boxed{E[S]=10\lambda,\qquad V[S]=10\lambda}.$$

問2

2-1

独立性より $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$ であるから、

$$\boxed{\rho_{XY}=0}.$$

2-2

正方形 $[0,100]^2$ 内の面積比より、

$$\boxed{ P(X+Y\ge a)= \begin{cases} 1-\dfrac{a^2}{20000},&0\le a\le100,\\[6pt] \dfrac{(200-a)^2}{20000},&100\le a\le200. \end{cases}}$$

2-3

$P(X+Y\ge120)=8/25$ なので、

$$\boxed{ f_{X,Y\mid X+Y\ge120}(x,y)= \begin{cases} \dfrac1{3200},& 0\le x,y\le100,\ x+y\ge120,\\ 0,&\text{otherwise}. \end{cases}}$$

2-4

事象 $E=\{20<X<30\}$、$F=\{20<Y<30\}$ は、条件 $X+Y\ge120$ のもとでそれぞれ正の確率をもつ。一方、$E\cap F$ では $X+Y<60$ なので条件を満たさず、その条件付き確率は $0$ である。したがって、

$$\boxed{X,Y\text{ は条件付きでは独立でない}}.$$

2-5

三角形の頂点は $(20,100),(100,20),(100,100)$ である。重心より、

$$\boxed{ E[X\mid X+Y\ge120] =E[Y\mid X+Y\ge120] =\frac{220}{3}}.$$

問3

3-1

スラック変数 $x_3,x_4,x_5$ を導入すると、

$$\begin{cases} x_1+x_3=4,\\ 2x_2+x_4=12,\\ 3x_1+2x_2+x_5=18, \end{cases} \qquad x_i\ge0,$$

であり、目的関数は $\max Z=3x_1+5x_2$ である。

3-2

初期表は

基底	$c_B$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	定数項
$x_3$	0	1	0	1	0	0	4
$x_4$	0	0	2	0	1	0	12
$x_5$	0	3	2	0	0	1	18
$c_j-z_j$		3	5	0	0	0

である。$x_2$ を入れ、$x_4$ を出すと

基底	$c_B$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	定数項
$x_3$	0	1	0	1	0	0	4
$x_2$	5	0	1	0	$1/2$	0	6
$x_5$	0	3	0	0	-1	1	6
$c_j-z_j$		3	0	0	$-5/2$	0

となる。次に $x_1$ を入れ、$x_5$ を出すと、最終表は

基底	$c_B$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	定数項
$x_3$	0	0	0	1	$1/3$	$-1/3$	2
$x_2$	5	0	1	0	$1/2$	0	6
$x_1$	3	1	0	0	$-1/3$	$1/3$	2
$c_j-z_j$		0	0	0	$-3/2$	$-1$

となる。したがって、

$$\boxed{(x_1,x_2)=(2,6)},\qquad \boxed{Z_{\max}=36}.$$

3-3

双対問題は

$$\begin{aligned} \text{minimize}\quad&4y_1+12y_2+18y_3,\\ \text{subject to}\quad &y_1+3y_3\ge3,\\ &2y_2+2y_3\ge5,\\ &y_1,y_2,y_3\ge0. \end{aligned}$$

である。最適解は $(y_1,y_2,y_3)=(0,3/2,1)$、最適値は $36$ である。