電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2021年8月実施 選択問題 確率・オペレーションズリサーチ

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• 电气通信大学
• 泊松分布
• 均匀分布
• 条件概率密度
• 相关系数
• 生产计划
• 单纯形法
• 线性规划对偶性

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

この科目（確率・オペレーションズリサーチ）を受験する場合には、問 1 は必ず解答し、問 2 と問 3 はいずれか一方のみを選択して解答すること。

問 1 1 時間あたり平均して $\lambda$ 人の来客がある店舗について考える。毎時間の来客数が互いに独立にポアソン分布に従っていると仮定する。

問 1-1： ポアソン分布のモーメント母関数を求めよ。

問 1-2： 10 時間分の来客数の合計が従う確率分布を導出せよ。

問 1-3： 10 時間分の来客数の合計の平均と分散を導出せよ。

Keywords：平均 mean、来客 visitors、店舗 shop、来客数 number of visitors、ポアソン分布 Poisson distribution、モーメント母関数 moment generating function、合計 sum、確率分布 probability distribution、分散 variance。

問 2 この問題を選択する場合には以下の A、B の双方に解答すること。そして問 3 に解答してはいけない。

A　2 つの確率変数 $X,Y$ が互いに独立に 0 以上 100 以下の実数値をとる一様分布に従っていると仮定する。

問 2-1： $X$ と $Y$ の相関係数を求めよ。

問 2-2： $X+Y\ge a$ の確率を求めよ。ただし $a$ は 0 以上 200 以下の実数値とする。

B　これ以降は、A の仮定に加えて $X+Y\ge120$ を条件とした、条件付き分布を考える。

問 2-3： $X$ と $Y$ の条件付き同時密度関数を求めよ。

問 2-4： この条件付き分布に関して、$X$ と $Y$ が互いに独立かどうか確かめよ。

問 2-5： この条件付き分布に関する、$X$ と $Y$ それぞれの条件付き平均を求めよ。

Keywords：確率変数 random variable、互いに独立 independently with each other、実数値 real number、一様分布 uniform distribution、仮定 assumption、相関係数 correlation coefficient、確率 probability、条件 condition、条件付き分布 conditional distribution、同時密度関数 joint density function。

問 3 この問題を選択する場合には、問 2 に解答してはいけない。

ガラス製造 A 社は、ガラス窓やガラス製ドアといった製品を生産している。同社は 3 つの工場を持っており、工場 1 はアルミ枠などを生産する生産設備を、工場 2 は木製の枠を生産する設備を有している。さらに、工場 3 はガラス製品を生産する設備を有し、さらに組み立てを行っている。

ガラス製造 A 社は最近、収益が悪化しており、経営陣は工場の生産ラインを整理することにした。そこで、採算の合わない従来製品は生産終了とし、次の 2 つの有望な新製品を投入することにした。

製品 1：アルミ枠で高級ガラスを用いたドア

製品 2：断熱性を高める木製の枠を用いたガラス窓

製品 1 は工場 1 と 3 の生産設備を必要とする一方で、製品 2 は、工場 2 と 3 の生産設備を必要とする。マーケティング部の調査の結果、製品 1 を 1 単位生産すれば 3 万円の利益が、製品 2 を 1 単位生産すれば 5 万円の利益が見込めることがわかった。

製品 1 を 1 単位生産するのに、工場 1 を 1 時間使う必要がある（単位あたりの生産時間）が、工場 1 は他の製品も生産しているため、1 週間に 4 時間までしか使えない（1 週間の生産可能時間）。同じように工場 2 が使える時間は 12 時間までで、製品 2 を 1 単位生産するには 2 時間使う必要がある。工場 3 で使える時間は 18 時間までで、製品 1 を 1 単位生産するときに 3 時間、製品 2 を 1 単位生産するときに 2 時間使う必要がある。

そこで、ガラス製造 A 社は、製造部に 1 週間の生産計画を立てるよう依頼した。製品 1 と 2 それぞれの生産量を調整して、総利益をできるだけ大きくしたいとする。このとき、以下の問に答えよ。

問 3-1： 製品 1 と 2 の生産量を、それぞれ $x_1,x_2$［単位］で表す。このとき、総利益 $Z$ を最大にする生産計画問題を、線形計画問題として定式化せよ。なお、スラック変数は、$x_3,x_4,x_5$ とせよ。

問 3-2： 問 3-1 で定式化した問題の最適解（各製品の生産量）とその最適解において得られる総利益について、シンプレックス法を用いて求めよ。なお、解答欄にしたがってシンプレックス表を作成せよ。

問 3-3： 問 3-1 で定式化した問題を主問題としたとき、その主問題に対する双対問題を記せ。

Keywords：製品 product、生産 produce、工場 factory、生産設備 production facility、必要 required、単位 unit、利益 profit、単位あたりの生産時間 production hours per unit、1 週間の生産可能時間 available production hours per week、生産量 production quantity、総利益 total profit、生産計画問題 production planning problem、線形計画問題 linear programming problem、定式化 formulate、スラック変数 slack variable、最適解 optimal solution、シンプレックス法 Simplex method、表 table、主問題 primal problem、双対問題 dual problem。

题目描述

本科目“概率与运筹学”中，问题 1 必答，问题 2、3 只选其中一题作答。

问 1 某商店每小时平均有 $\lambda$ 位顾客，假设各小时的顾客数相互独立且服从泊松分布。

问 1-1： 求泊松分布的矩母函数。

问 1-2： 推导 10 小时顾客总数所服从的概率分布。

问 1-3： 推导 10 小时顾客总数的均值和方差。

问 2 选择本题时必须回答 A、B 两部分，且不得回答问题 3。

A　设随机变量 $X,Y$ 相互独立，均服从取值于 $[0,100]$ 的连续均匀分布。

问 2-1： 求 $X,Y$ 的相关系数。

问 2-2： 求 $X+Y\ge a$ 的概率，其中 $a$ 为 $[0,200]$ 内的实数。

B　以下在 A 的假设基础上，考虑条件 $X+Y\ge120$ 下的条件分布。

问 2-3： 求 $X,Y$ 的条件联合密度函数。

问 2-4： 检验在该条件分布下 $X,Y$ 是否相互独立。

问 2-5： 求该条件分布下 $X,Y$ 各自的条件均值。

问 3 选择本题时不得回答问题 2。

玻璃制造公司 A 生产玻璃窗、玻璃门等产品。公司拥有三家工厂：工厂 1 具备生产铝框等的设备，工厂 2 具备生产木框的设备，工厂 3 具备生产玻璃制品的设备并负责组装。

由于最近收益恶化，管理层决定整顿生产线，停止生产不盈利的旧产品，推出以下两种有前景的新产品：

产品 1：采用铝框和高级玻璃的门。

产品 2：采用提高隔热性能的木框的玻璃窗。

产品 1 需要工厂 1、3 的设备，产品 2 需要工厂 2、3 的设备。市场部门调查表明，每生产 1 单位产品 1 可获利 3 万日元，每生产 1 单位产品 2 可获利 5 万日元。

每单位产品 1 需要使用工厂 1 一小时（单位生产时间），但因该厂还生产其他产品，每周最多只能使用 4 小时（每周可生产时间）。同样，工厂 2 每周最多可用 12 小时，每单位产品 2 需使用 2 小时。工厂 3 每周最多可用 18 小时，每单位产品 1 需使用 3 小时，每单位产品 2 需使用 2 小时。

公司要求制造部门制定一周生产计划，通过调整两种产品的产量，使总利润尽可能大。回答：

问 3-1： 用 $x_1,x_2$［单位］分别表示两种产品的产量，将总利润 $Z$ 最大化的生产计划写为线性规划。松弛变量用 $x_3,x_4,x_5$。

问 3-2： 用单纯形法求该问题的最优解，即各产品的产量及最优总利润。按答题栏制作单纯形表。

问 3-3： 将问 3-1 的规划作为原问题，写出其对偶问题。

Kai

問1

1-1

$N\sim\operatorname{Pois}(\lambda)$ より、

$$\boxed{M_N(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}}.$$

1-2

独立な Poisson 確率変数の和も Poisson 分布に従うので、10 時間の合計 $S$ は

$$\boxed{S\sim\operatorname{Pois}(10\lambda)}.$$

1-3

$$\boxed{E[S]=10\lambda,\qquad V[S]=10\lambda}.$$

問2

2-1

独立性より $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$ であるから、

$$\boxed{\rho_{XY}=0}.$$

2-2

正方形 $[0,100]^2$ 内の面積比より、

$$\boxed{ P(X+Y\ge a)= \begin{cases} 1-\dfrac{a^2}{20000},&0\le a\le100,\\[6pt] \dfrac{(200-a)^2}{20000},&100\le a\le200. \end{cases}}$$

2-3

$P(X+Y\ge120)=8/25$ なので、

$$\boxed{ f_{X,Y\mid X+Y\ge120}(x,y)= \begin{cases} \dfrac1{3200},& 0\le x,y\le100,\ x+y\ge120,\\ 0,&\text{otherwise}. \end{cases}}$$

2-4

事象 $E=\{20<X<30\}$、$F=\{20<Y<30\}$ は、条件 $X+Y\ge120$ のもとでそれぞれ正の確率をもつ。一方、$E\cap F$ では $X+Y<60$ なので条件を満たさず、その条件付き確率は $0$ である。したがって、

$$\boxed{X,Y\text{ は条件付きでは独立でない}}.$$

2-5

三角形の頂点は $(20,100),(100,20),(100,100)$ である。重心より、

$$\boxed{\begin{gathered} E[X\mid X+Y\ge120] =E[Y\mid X+Y\ge120]\\ =\frac{220}{3} \end{gathered}}.$$

問3

3-1

スラック変数 $x_3,x_4,x_5$ を導入すると、

$$\begin{cases} x_1+x_3=4,\\ 2x_2+x_4=12,\\ 3x_1+2x_2+x_5=18, \end{cases} \qquad x_i\ge0,$$

であり、目的関数は $\max Z=3x_1+5x_2$ である。

3-2

初期表は

基底	$c_B$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	定数項
$x_3$	0	1	0	1	0	0	4
$x_4$	0	0	2	0	1	0	12
$x_5$	0	3	2	0	0	1	18
$c_j-z_j$		3	5	0	0	0

である。$x_2$ を入れ、$x_4$ を出すと

基底	$c_B$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	定数項
$x_3$	0	1	0	1	0	0	4
$x_2$	5	0	1	0	$1/2$	0	6
$x_5$	0	3	0	0	-1	1	6
$c_j-z_j$		3	0	0	$-5/2$	0

となる。次に $x_1$ を入れ、$x_5$ を出すと、最終表は

基底	$c_B$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	定数項
$x_3$	0	0	0	1	$1/3$	$-1/3$	2
$x_2$	5	0	1	0	$1/2$	0	6
$x_1$	3	1	0	0	$-1/3$	$1/3$	2
$c_j-z_j$		0	0	0	$-3/2$	$-1$

となる。したがって、

$$\boxed{(x_1,x_2)=(2,6)},\qquad \boxed{Z_{\max}=36}.$$

3-3

双対問題は

$$\begin{aligned} \text{minimize}\quad&4y_1+12y_2+18y_3,\\ \text{subject to}\quad &y_1+3y_3\ge3,\\ &2y_2+2y_3\ge5,\\ &y_1,y_2,y_3\ge0. \end{aligned}$$

である。最適解は $(y_1,y_2,y_3)=(0,3/2,1)$、最適値は $36$ である。

Reference

• 大学公表の原題