電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2021年8月実施 必須問題 微分積分

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• Implicit-Differentiation
• Double-Integral
• Polar-Coordinates

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$f(x,y)=3x^2-12xy+y^3+6y^2-15y-3$$

の極値をすべて求め、曲線 $f(x,y)=0$ 上の点 $(1,3)$ における接線を求めよ。また、

$$I=\iint_D\frac{dx\,dy}{5-\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad D=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le16\}$$

を計算せよ。

题目描述

求二元函数的全部极值及其零等值线在指定点的切线，并以极坐标计算圆环上的二重积分。

Kai

(1)

(i)

$$f_x=6x-12y,\qquad f_y=-12x+3y^2+12y-15.$$

$f_x=f_y=0$ より停留点は

$$(10,5),\qquad(-2,-1)$$

である。Hesse 行列式は $36(y-2)$ なので、$(-2,-1)$ は鞍点、$(10,5)$ は極小点である。したがって、

$$\boxed{\text{極小値 }f(10,5)=-103}, \qquad \boxed{\text{極大値なし}}.$$

(ii)

$$\nabla f(1,3)=(-30,36)$$

より、接線は

$$-30(x-1)+36(y-3)=0.$$

したがって、

$$\boxed{5x-6y+13=0}.$$

(2)

極座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ を用いると、

$$\begin{aligned} I &=\int_0^{2\pi}\int_1^4\frac{r}{5-r}\,dr\,d\theta\\ &=\boxed{20\pi\log2-6\pi}. \end{aligned}$$