電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2021年8月実施 必須問題 線形代数

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• University-of-Electro-Communications
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Linear-Independence
• Cayley-Hamilton-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

行列

$$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&-1&2\\0&2&1\end{pmatrix}$$

について、全固有値と最大固有値の固有ベクトルを求めよ。また、$aA^2+bA+cE=O$ ならば $a=b=c=0$ であることを示し、

$$A^3+sA^2+tA+uE=O$$

を満たす $s,t,u$ を求めよ。

题目描述

求给定实对称矩阵的特征值和最大特征值对应的特征向量，证明 $E,A,A^2$ 线性无关，并求其 Cayley–Hamilton 关系。

Kai

(1)

特性多項式は

$$\det(\lambda E-A) =(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+3).$$

したがって固有値は $\boxed{3,1,-3}$ である。最大固有値 $3$ に対する固有ベクトルは、例えば

$$\boxed{(1,1,1)^{\mathsf T}}$$

である。

(2)

$p(\lambda)=a\lambda^2+b\lambda+c$ とおく。$aA^2+bA+cE=O$ を各固有ベクトルに作用させると、

$$p(3)=p(1)=p(-3)=0.$$

二次以下の多項式が相異なる 3 根をもつので $p\equiv0$ であり、

$$\boxed{a=b=c=0}.$$

(3)

Cayley--Hamilton の定理より、

$$A^3-A^2-9A+9E=O.$$

よって、

$$\boxed{s=-1,\qquad t=-9,\qquad u=9}.$$