電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2020年8月実施 選択問題 離散数学

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GPT-5.6 Sol

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問1

を集合、 を写像とする。, に対して

と定義する。空欄 1 から 8 に、選択肢

から適切なものを入れよ。

5. に対して 、 であるとき、 であり、 である。
6. 写像 と集合 , に対して次を埋めよ。
   • が単射なら一般に 。
   • が単射なら一般に 。

問2

述語を

と定義する。空欄 9 から 24 に、選択肢

から適切なものを入れよ。

1. 「どの図書館も本を所有する」:
2. 「ありとあらゆる本を所有する図書館は存在しない」を次の三通りで表せ。
3. 「数学の本であるなら全て所有する図書館がある」:
4. 「全ての図書館に必ず置いてある本がある」:
5. 「全ての図書館に必ず置いてある数学の本がある」:

問3

の自然数に対して、次の不等式を数学的帰納法で証明せよ。

問4

集合 と写像 に対し、 の順像を与える写像

を定義する。 とし、写像の集合

を考える。

1. 、 とする。
   • の要素を一つ図示せよ。
   • の要素を一つ図示せよ。
2. とする。
   • を求めよ。
   • を求めよ。

Kai

問1

空欄	選択肢	記号
1	①
2	②
3	①
4	②
5	⑤
6	⓪
7	⓪
8	②

空欄 7 について、任意の写像では であり、単射なら逆向きの包含も成立するため等号となる。 空欄 8 については一般に

である。ここで選択肢 ② の は包含関係を表す。

問2

空欄	選択肢	内容
9	⓪
10	③
11	④
12	①
13	⓪
14	①
15	⓪
16	④
17	②
18	①
19	⑦
20	③
21	⓪
22	③
23	⓪
24	⑥

完成した論理式は次のとおりである。

2. 次の三式は De Morgan の法則により同値である。

5. 。これは が に依存しないため、 と同値である。

問3

とおく。

のとき

なので成立する。

で が成立すると仮定する。 より

であるから、

よって数学的帰納法により、すべての で不等式が成立する。

問4

(1-1)

, とする。このとき は次の対応である。

(1-2)

次の は から への全単射である。

しかし任意の写像 について であるため、この は の形ではない。したがって である。

(2-1)

から への全単射は 個ある。異なる は単元集合 の像で区別でき、異なる を与える。よって

(2-2)

なので、この二つの集合の間の全単射の個数は

である。