電気通信大学 情報理工学研究科 情報学専攻 2020年8月実施 必須問題（数学）問2

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Local-Extrema
• Double-Integral

Author

GPT-5.6 Sol

Description

以下の問いに答えよ。

1. 関数

   $$f(x,y)=x^3-x^2y+y^3-y$$

   の $y>0$ における極値を求めよ。

2. 次の重積分の値を求めよ。

   $$\iint_D x\log(x^2+y^2)\,dx\,dy, \qquad D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}.$$

题目描述

回答下列问题：

1. 在限制 $y>0$ 下，求二元函数
   $$f(x,y)=x^3-x^2y+y^3-y$$
   的极值。
2. 对第一象限内由两个同心圆 $x^2+y^2=1$ 与 $x^2+y^2=4$ 围成的四分之一圆环
   $$D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\},$$
   计算二重积分
   $$\iint_D x\log(x^2+y^2)\,dx\,dy.$$

考点

• 二元函数极值：联立一阶偏导求 $y>0$ 内的驻点，并通过二阶偏导或 Hessian 判别其极大、极小性质与函数值。
• 二重积分与极坐标变换：利用四分之一圆环区域的径向结构改用极坐标，正确处理被积函数与面积元。

Kai

(1)

一階偏導関数は

$$f_x=x(3x-2y),\qquad f_y=-x^2+3y^2-1$$

である。$f_x=f_y=0$ を $y>0$ のもとで解く。

$x=0$ の場合は $y=1/\sqrt3$ である。$3x-2y=0$ の場合は $y=3x/2$ であり、$y>0$ より

$$(x,y)=\left(\frac2{\sqrt{23}},\frac3{\sqrt{23}}\right)$$

を得る。したがって領域内の停留点は

$$P=\left(0,\frac1{\sqrt3}\right),\qquad Q=\left(\frac2{\sqrt{23}},\frac3{\sqrt{23}}\right)$$

である。

Hesse 行列は

$$H(x,y)= \begin{pmatrix} 6x-2y&-2x\\ -2x&6y \end{pmatrix}.$$

$P$ では $\det H(P)=-4<0$ なので $P$ は鞍点である。 $Q$ では

$$\det H(Q)=4>0, \qquad f_{xx}(Q)=\frac6{\sqrt{23}}>0$$

なので $Q$ は局所的な極小点である。その値は

$$f(Q) =\frac8{23\sqrt{23}}-\frac{12}{23\sqrt{23}} +\frac{27}{23\sqrt{23}}-\frac3{\sqrt{23}} =-\frac2{\sqrt{23}}.$$

よって極小値は

$$\boxed{-\frac2{\sqrt{23}}}$$

であり、極大値は存在しない。

(2)

極座標 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を用いると、

$$1\le r\le2,\qquad 0\le\theta\le\frac\pi2, \qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta$$

である。したがって

$$\begin{aligned} \iint_D x\log(x^2+y^2)\,dx\,dy &=\int_0^{\pi/2}\int_1^2 r^2\cos\theta\log(r^2)\,dr\,d\theta\\ &=\int_1^2 r^2\log(r^2)\,dr\\ &=\left[\frac{2r^3}{3}\log r-\frac{2r^3}{9}\right]_1^2\\ &=\boxed{\frac{16}{3}\log2-\frac{14}{9}}. \end{aligned}$$