電気通信大学情報理工学研究科情報学専攻 2020年8月実施必須問題（数学）問2

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

以下の問いに答えよ。

関数

$f(x,y)=x^3-x^2y+y^3-y$

の $y>0$ における極値を求めよ。
次の重積分の値を求めよ。

$\iint_D x\log(x^2+y^2)\,dx\,dy, \qquad D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}.$

回答下列问题：

在限制 $y>0$ 下，求二元函数
$f(x,y)=x^3-x^2y+y^3-y$
的极值。
对第一象限内由两个同心圆 $x^2+y^2=1$ 与 $x^2+y^2=4$ 围成的四分之一圆环
$D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\},$
计算二重积分
$\iint_D x\log(x^2+y^2)\,dx\,dy.$

一階偏導関数は

f_x=x(3x-2y),\qquad f_y=-x^2+3y^2-1

である。 $f_x=f_y=0$ を $y>0$ のもとで解く。

$x=0$ の場合は $y=1/\sqrt3$ である。 $3x-2y=0$ の場合は $y=3x/2$ であり、 $y>0$ より

(x,y)=\left(\frac2{\sqrt{23}},\frac3{\sqrt{23}}\right)

を得る。したがって領域内の停留点は

P=\left(0,\frac1{\sqrt3}\right),\qquad Q=\left(\frac2{\sqrt{23}},\frac3{\sqrt{23}}\right)

である。

Hesse 行列は

H(x,y)= \begin{pmatrix} 6x-2y&-2x\\ -2x&6y \end{pmatrix}.

$P$ では $\det H(P)=-4<0$ なので $P$ は鞍点である。 $Q$ では

\det H(Q)=4>0, \qquad f_{xx}(Q)=\frac6{\sqrt{23}}>0

なので $Q$ は局所的な極小点である。その値は

f(Q) =\frac8{23\sqrt{23}}-\frac{12}{23\sqrt{23}} +\frac{27}{23\sqrt{23}}-\frac3{\sqrt{23}} =-\frac2{\sqrt{23}}.

よって極小値は

\boxed{-\frac2{\sqrt{23}}}

であり、極大値は存在しない。

極座標 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ を用いると、

1\le r\le2,\qquad 0\le\theta\le\frac\pi2, \qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta

である。したがって

\begin{aligned} \iint_D x\log(x^2+y^2)\,dx\,dy &=\int_0^{\pi/2}\int_1^2 r^2\cos\theta\log(r^2)\,dr\,d\theta\\ &=\int_1^2 r^2\log(r^2)\,dr\\ &=\left[\frac{2r^3}{3}\log r-\frac{2r^3}{9}\right]_1^2\\ &=\boxed{\frac{16}{3}\log2-\frac{14}{9}}. \end{aligned}