電気通信大学情報理工学研究科情報学専攻 2020年8月実施必須問題（数学）問1

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GPT-5.6 Sol

ベクトル

a=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3

に対し、線形変換 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ を

f(x)=x-\frac{2(x,a)}{(a,a)}a

で定義する。ただし $(x,y)$ は標準内積を表し、 $\mathcal{E}=(e_1,e_2,e_3)$ を $\mathbb{R}^3$ の標準基底とする。以下の問いに答えよ。

给定向量

a=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\in\mathbb R^3,

并定义线性变换

f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3,\qquad f(x)=x-\frac{2(x,a)}{(a,a)}a,

其中 $(x,y)$ 表示标准内积， $\mathcal E=(e_1,e_2,e_3)$ 是 $\mathbb R^3$ 的标准基。求 $f(e_1)$ 与 $f(a)$ ，写出 $f$ 关于基 $\mathcal E$ 的表示矩阵 $A$ ，并求 $A$ 的全部特征值。

まず $(a,a)=1^2+1^2+2^2=6$ である。

$(e_1,a)=1$ より、

\begin{aligned} f(e_1) &=e_1-\frac{2}{6}a\\ &=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} -\frac13\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac23\\-\frac13\\-\frac23\end{pmatrix}. \end{aligned}

また $(a,a)=6$ なので、

f(a)=a-\frac{2(a,a)}{(a,a)}a=-a =\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}.

$x$ を列ベクトルとみなすと $(x,a)=a^{\mathsf T}x$ であるから、

\begin{aligned} A &=I-\frac{2}{a^{\mathsf T}a}aa^{\mathsf T}\\ &=I-\frac13 \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&1&2\\ 2&2&4 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac23&-\frac13&-\frac23\\ -\frac13&\frac23&-\frac23\\ -\frac23&-\frac23&-\frac13 \end{pmatrix}. \end{aligned}

$a$ の張る一次元部分空間では $f(a)=-a$ であるため、固有値は $-1$ である。一方、 $x\in a^\perp$ ならば $(x,a)=0$ なので $f(x)=x$ となる。 $a^\perp$ は二次元であるから、固有値 $1$ の重複度は $2$ である。

したがって固有値は

\boxed{-1,\ 1,\ 1}

である。