電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2025年8月実施 選択問題 6 基礎数学

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1) 線形代数

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0 \end{pmatrix}, \quad u=\begin{pmatrix}4\\-1\\-5\\2\end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}11\\-5\\1\\k\end{pmatrix}$$

とする。$Au$、$A$ の固有値、三次元固有空間の指定された基底、および $Av$ がその固有空間に属するための $k$ を求めよ。

ただし、指定された三ベクトルは

$$p_1=\begin{pmatrix}\alpha\\1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad p_2=\begin{pmatrix}\beta\\0\\1\\0\end{pmatrix},\qquad p_3=\begin{pmatrix}\gamma\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$

であり、これらが三次元固有空間の基底となるように $\alpha,\beta,\gamma$ を定める。

(2) 重積分

$$I_1=\iint_{D_1}(2x+y)\,dx\,dy, \quad D_1=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ x\le y\le2x\},$$

$$I_2=\iint_{D_2}\sqrt{xy}\,dx\,dy, \quad D_2=\{(x,y)\mid x,y\ge0,\ \sqrt x+\sqrt y\le1\}$$

を求めよ。

(3) Fourier 級数

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)=|x|$ $(-\pi<x\le\pi)$ の Fourier 級数を求め、それを用いて

$$1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\cdots$$

を求めよ。

题目描述

本题包括四阶矩阵的特征值与特征空间、两个二重积分，以及 $|x|$ 的 Fourier 级数和奇数平方倒数级数。

Kai

(1)

(a)

$$\boxed{Au=\begin{pmatrix}-4\\1\\5\\-2\end{pmatrix}}.$$

(b)

$\boldsymbol e=(1,1,1,1)^{\mathsf T}$ とすると $A\boldsymbol e=3\boldsymbol e$ である。一方、成分和が $0$ のベクトル $x$ には $Ax=-x$ が成り立つ。よって固有値は

$$\boxed{3,\ -1},$$

ただし $-1$ の重複度は $3$ である。

(c)

三次元固有空間は

$$V=\left\{x\in\mathbb R^4\mathrel{\middle|}\sum_{j=1}^4x_j=0\right\}.$$

したがって、指定された三ベクトルが $V$ の基底となる条件は

$$\boxed{\alpha=\beta=\gamma=-1}.$$

(d)

$Av\in V$ ならば、その成分和は $0$ である。$A$ は成分和を $3$ 倍するので

$$3(11-5+1+k)=0.$$

よって

$$\boxed{k=-7}.$$

(2)

(a)

$$\begin{aligned} I_1 &=\int_0^1\int_x^{2x}(2x+y)\,dy\,dx\\ &=\boxed{\frac76}. \end{aligned}$$

(b)

$x=s^2$, $y=t^2$ とおくと、$s,t\ge0$, $s+t\le1$ であり、$dx\,dy=4st\,ds\,dt$ である。したがって

$$\begin{aligned} I_2 &=4\int_0^1\int_0^{1-s}s^2t^2\,dt\,ds\\ &=\boxed{\frac1{45}}. \end{aligned}$$

(3)

$f$ は偶関数なので $b_n=0$ である。また

$$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi x\,dx=\pi,$$

$$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\cos nx\,dx =\frac{2\{(-1)^n-1\}}{\pi n^2}.$$

よって

$$\boxed{ |x|=\frac\pi2+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\{(-1)^n-1\}}{\pi n^2}\cos nx }.$$

$x=0$ を代入すると

$$0=\frac\pi2-\frac4\pi \sum_{m=0}^{\infty}\frac1{(2m+1)^2}.$$

したがって

$$\boxed{1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}}.$$