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電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2024年8月実施 選択問題 基礎数学

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

(1) 線形代数​

行列

A=(3−527−1231−2−1)=(a1a2a3)A=\begin{pmatrix} 3&-5&2\\ 7&-12&3\\ 1&-2&-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\boldsymbol a_1&\boldsymbol a_2&\boldsymbol a_3\end{pmatrix}

について、a3\boldsymbol a_3 を a1,a2\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2 の一次結合で表し、det⁡A\det A と AA の固有値を求めよ。

(2) ベクトル解析​

r(μ,ν)=μcos⁡ν i+μsin⁡ν j+(4−μ2)k,0≤μ≤2,0≤ν≤2π\boldsymbol r(\mu,\nu) =\mu\cos\nu\,\boldsymbol i+\mu\sin\nu\,\boldsymbol j+(4-\mu^2)\boldsymbol k, \quad 0\leq\mu\leq2, 0\leq\nu\leq2\pi

で表される曲面を SS、SS と xyxy 平面との交線を、z>0z>0 側から見て反時計回りに向き付けた曲線を CC とする。

  1. SS の特徴がわかるように図示し、その図に CC を描け。
  2. SS と z=0z=0 で囲まれる体積を求めよ。
  3. A=(x2+y−4)i+3xy2j+(2xz+z2)k\boldsymbol A=(x^2+y-4)\boldsymbol i+3xy^2\boldsymbol j+(2xz+z^2)\boldsymbol k に対し、∇×A\nabla\times\boldsymbol A と ∬S(∇×A)⋅n dS\iint_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS を求めよ。n\boldsymbol n は外向き単位法線である。
  4. ∮CA⋅dr\displaystyle\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r を求めよ。

(3) フーリエ級数​

周期 2π2\pi の関数 f(x)=x(π−x)f(x)=x(\pi-x) (−π≤x≤π)(-\pi\leq x\leq\pi) を

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

と展開するとき、an,bna_n,b_n を求めよ。

题目描述​

求给定矩阵的列向量关系、行列式与特征值；计算旋转抛物面所围体积、旋度的曲面积分及边界曲线积分；最后求周期函数 x(π−x)x(\pi-x) 的傅里叶系数。

Kai​

(1)​

直接計算すると

a3=9a1+5a2,det⁡A=0.\boxed{\boldsymbol a_3=9\boldsymbol a_1+5\boldsymbol a_2}, \qquad \boxed{\det A=0}.

また、

det⁡(λI−A)=λ(λ2+10λ+12)\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda^2+10\lambda+12)

より、固有値は

0,−5+13,−5−13\boxed{0, -5+\sqrt{13}, -5-\sqrt{13}}

である。

(2)​

(a)​

SS は

z=4−x2−y2(x2+y2≤4)z=4-x^2-y^2\quad (x^2+y^2\leq4)

で表される下向きの回転放物面であり、頂点は (0,0,4)(0,0,4) である。CC は

x2+y2=4,z=0x^2+y^2=4,\qquad z=0

なる円で、z>0z>0 側から見て反時計回りである。

回転放物面 S と境界円 C

(b)​

円柱座標を用いると

V=∫02π∫02(4−r2)r dr dθ=8π.V=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r^2)r\,dr\,d\theta =\boxed{8\pi}.

(c)​

∇×A=(0−2z3y2−1).\boxed{\nabla\times\boldsymbol A =\begin{pmatrix}0\\-2z\\3y^2-1\end{pmatrix}}.

SS の外向き面素ベクトルは

n dS=(2x,2y,1) dx dy\boldsymbol n\,dS=(2x,2y,1)\,dx\,dy

である。D={(x,y)∣x2+y2≤4}D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq4\} とおけば、対称性より

∬S(∇×A)⋅n dS=∬D{−4y(4−x2−y2)+3y2−1} dx dy=3∬Dy2 dx dy−∬D1 dx dy=12π−4π=8π.\begin{aligned} \iint_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS &=\iint_D\{-4y(4-x^2-y^2)+3y^2-1\}\,dx\,dy\\ &=3\iint_Dy^2\,dx\,dy-\iint_D1\,dx\,dy\\ &=12\pi-4\pi =\boxed{8\pi}. \end{aligned}

(d)​

ストークスの定理より

∮CA⋅dr=8π.\boxed{\displaystyle\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r=8\pi}.

(3)​

a0=1π∫−ππx(π−x) dx=−2π23,an=1π∫−ππx(π−x)cos⁡nx dx=4(−1)n+1n2(n≥1),bn=1π∫−ππx(π−x)sin⁡nx dx=2π(−1)n+1n(n≥1).\begin{aligned} a_0&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\,dx =-\frac{2\pi^2}{3},\\ a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\cos nx\,dx =\frac{4(-1)^{n+1}}{n^2}\quad(n\geq1),\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\sin nx\,dx =\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}\quad(n\geq1). \end{aligned}

したがって、−π<x<π-\pi<x<\pi で

f(x)=−π23+∑n=1∞{4(−1)n+1n2cos⁡nx+2π(−1)n+1nsin⁡nx}\boxed{ f(x)=-\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \frac{4(-1)^{n+1}}{n^2}\cos nx +\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}\sin nx \right\}}

である。端点 x=±πx=\pm\pi では級数は左右極限の平均 −π2-\pi^2 に収束する。

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