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電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2024年8月実施 選択問題 基礎数学

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

（1） 行列

A=[3−527−1231−2−1]A=\begin{bmatrix}3&-5&2\\7&-12&3\\1&-2&-1\end{bmatrix}

に対して、以下の問に答えよ。

（a）ai\boldsymbol a_i を AA の第 ii 列とする（i=1,2,3i=1,2,3）。a3\boldsymbol a_3 を a1,a2\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2 の 1 次結合で表せ。

（b）行列式 ∣A∣|A| の値を求めよ。

（c）AA の固有値をすべて求めよ。

（2） 二つのパラメータをもって定義されたベクトル

r(μ,ν)=μcos⁡ν i+μsin⁡ν j+(4−μ2)k(0≤μ≤2, 0≤ν≤2π)\begin{aligned} \boldsymbol r(\mu,\nu)&=\mu\cos\nu\,\boldsymbol i+\mu\sin\nu\,\boldsymbol j+(4-\mu^2)\boldsymbol k\\ &(0\le\mu\le2,\ 0\le\nu\le2\pi) \end{aligned}

で与えられる曲面 SS がある。i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k は、それぞれ x,y,zx,y,z 方向の単位直交ベクトルである。曲面 SS と xyxy 平面との交線を曲線 CC とする。ただし、zz の正の側から見て反時計回りを曲線 CC の向きとする。

（a）SS がどのような曲面であるか特徴がわかるように図示せよ。その図中に CC がどのような曲線か描け。

（b）曲面 SS と z=0z=0 の平面で囲まれた体積 ∭VdV\iiint_V dV を求めよ。

（c）ベクトル

A(x,y,z)=(x2+y−4)i+3xy2j+(2xz+z2)k\boldsymbol A(x,y,z)=(x^2+y-4)\boldsymbol i+3xy^2\boldsymbol j+(2xz+z^2)\boldsymbol k

について、∇×A\nabla\times\boldsymbol A を計算せよ。また、

∬S(∇×A)⋅n dS\iint_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS

を計算せよ。n\boldsymbol n は曲面 SS の単位法線ベクトル（外向き）である。

（d）曲線 CC に沿ってベクトル A\boldsymbol A の線積分 ∫CA⋅dr\int_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r を計算せよ。ストークスの定理を利用してもよい。

（3） 周期 2π2\pi の周期関数 f(x)=x(π−x) (−π≤x≤π)f(x)=x(\pi-x)\ (-\pi\le x\le\pi) は

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

と展開できる。以下の問に答えよ。

（a）フーリエ係数 an (n=0,1,2,3,…)a_n\ (n=0,1,2,3,\ldots) を求めよ。

（b）フーリエ係数 bn (n=1,2,3,…)b_n\ (n=1,2,3,\ldots) を求めよ。

行列：matrix、1 次結合：linear combination、行列式：determinant、固有値：eigenvalue、曲面：curved surface、単位直交ベクトル：orthogonal unit vector、曲線：curve、単位法線ベクトル：unit normal vector、線積分：line integral、ストークスの定理：Stokes' theorem、周期関数：periodic function、フーリエ係数：Fourier coefficient。

题目描述​

（1） 对矩阵

A=[3−527−1231−2−1],A=\begin{bmatrix}3&-5&2\\7&-12&3\\1&-2&-1\end{bmatrix},

回答：

（a）设 ai\boldsymbol a_i 为 AA 的第 ii 列（i=1,2,3i=1,2,3）。将 a3\boldsymbol a_3 表示为 a1,a2\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2 的线性组合。

（b）求行列式 ∣A∣|A|。

（c）求 AA 的全部特征值。

（2） 曲面 SS 由含两个参数的向量

r(μ,ν)=μcos⁡ν i+μsin⁡ν j+(4−μ2)k(0≤μ≤2, 0≤ν≤2π)\begin{aligned} \boldsymbol r(\mu,\nu)&=\mu\cos\nu\,\boldsymbol i+\mu\sin\nu\,\boldsymbol j+(4-\mu^2)\boldsymbol k\\ &(0\le\mu\le2,\ 0\le\nu\le2\pi) \end{aligned}

给出。其中 i,j,k\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k 分别为 x,y,zx,y,z 方向的单位正交向量。设曲面 SS 与 xyxy 平面的交线为曲线 CC，其方向取从 zz 轴正侧看为逆时针。

（a）画出能够体现 SS 特征的曲面图，并在同一图中画出曲线 CC。

（b）求曲面 SS 与平面 z=0z=0 围成的体积 ∭VdV\iiint_VdV。

（c）对于向量

A(x,y,z)=(x2+y−4)i+3xy2j+(2xz+z2)k,\boldsymbol A(x,y,z)=(x^2+y-4)\boldsymbol i+3xy^2\boldsymbol j+(2xz+z^2)\boldsymbol k,

计算 ∇×A\nabla\times\boldsymbol A，并计算

∬S(∇×A)⋅n dS.\iint_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS.

这里 n\boldsymbol n 为曲面 SS 的外向单位法向量。

（d）计算沿曲线 CC 的线积分 ∫CA⋅dr\int_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r。可以使用斯托克斯定理。

（3） 周期为 2π2\pi 的周期函数 f(x)=x(π−x) (−π≤x≤π)f(x)=x(\pi-x)\ (-\pi\le x\le\pi) 可以展开为

f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx).f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx).

回答：

（a）求傅里叶系数 an (n=0,1,2,3,…)a_n\ (n=0,1,2,3,\ldots)。

（b）求傅里叶系数 bn (n=1,2,3,…)b_n\ (n=1,2,3,\ldots)。

Kai​

(1)​

直接計算すると

a3=9a1+5a2,det⁡A=0.\boxed{\boldsymbol a_3=9\boldsymbol a_1+5\boldsymbol a_2}, \qquad \boxed{\det A=0}.

また、

det⁡(λI−A)=λ(λ2+10λ+12)\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda^2+10\lambda+12)

より、固有値は

0,−5+13,−5−13\boxed{0, -5+\sqrt{13}, -5-\sqrt{13}}

である。

(2)​

(a)​

SS は

z=4−x2−y2(x2+y2≤4)z=4-x^2-y^2\quad (x^2+y^2\leq4)

で表される下向きの回転放物面であり、頂点は (0,0,4)(0,0,4) である。CC は

x2+y2=4,z=0x^2+y^2=4,\qquad z=0

なる円で、z>0z>0 側から見て反時計回りである。

回転放物面 S と境界円 C

(b)​

円柱座標を用いると

V=∫02π∫02(4−r2)r dr dθ=8π.V=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r^2)r\,dr\,d\theta =\boxed{8\pi}.

(c)​

∇×A=(0−2z3y2−1).\boxed{\nabla\times\boldsymbol A =\begin{pmatrix}0\\-2z\\3y^2-1\end{pmatrix}}.

SS の外向き面素ベクトルは

n dS=(2x,2y,1) dx dy\boldsymbol n\,dS=(2x,2y,1)\,dx\,dy

である。D={(x,y)∣x2+y2≤4}D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq4\} とおけば、対称性より

∬S(∇×A)⋅n dS=∬D{−4y(4−x2−y2)+3y2−1} dx dy=3∬Dy2 dx dy−∬D1 dx dy=12π−4π=8π.\begin{aligned} \iint_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS &=\iint_D\{-4y(4-x^2-y^2)+3y^2-1\}\,dx\,dy\\ &=3\iint_Dy^2\,dx\,dy-\iint_D1\,dx\,dy\\ &=12\pi-4\pi\\ &=\boxed{8\pi}. \end{aligned}

(d)​

ストークスの定理より

∮CA⋅dr=8π.\boxed{\displaystyle\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r=8\pi}.

(3)​

a0=1π∫−ππx(π−x) dx=−2π23,an=1π∫−ππx(π−x)cos⁡nx dx=4(−1)n+1n2(n≥1),bn=1π∫−ππx(π−x)sin⁡nx dx=2π(−1)n+1n(n≥1).\begin{aligned} a_0&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\,dx\\ &=-\frac{2\pi^2}{3},\\ a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\cos nx\,dx =\frac{4(-1)^{n+1}}{n^2}\\ &(n\geq1),\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\sin nx\,dx =\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}\\ &(n\geq1). \end{aligned}

したがって、−π<x<π-\pi<x<\pi で

f(x)=−π23+∑n=1∞{4(−1)n+1n2cos⁡nx+2π(−1)n+1nsin⁡nx}\boxed{ f(x)=-\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \frac{4(-1)^{n+1}}{n^2}\cos nx +\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}\sin nx \right\}}

である。端点 x=±πx=\pm\pi では級数は左右極限の平均 −π2-\pi^2 に収束する。

Reference​

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