電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2024年8月実施 選択問題 基礎数学

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Linear-Independence
• Matrix-Determinant
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Stokes-Theorem
• Fourier-Series

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1) 線形代数

行列

$$A=\begin{pmatrix} 3&-5&2\\ 7&-12&3\\ 1&-2&-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\boldsymbol a_1&\boldsymbol a_2&\boldsymbol a_3\end{pmatrix}$$

について、$\boldsymbol a_3$ を $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2$ の一次結合で表し、$\det A$ と $A$ の固有値を求めよ。

(2) ベクトル解析

$$\boldsymbol r(\mu,\nu) =\mu\cos\nu\,\boldsymbol i+\mu\sin\nu\,\boldsymbol j+(4-\mu^2)\boldsymbol k, \quad 0\leq\mu\leq2, 0\leq\nu\leq2\pi$$

で表される曲面を $S$、$S$ と $xy$ 平面との交線を、$z>0$ 側から見て反時計回りに向き付けた曲線を $C$ とする。

1. $S,C$ の形を示せ。
2. $S$ と $z=0$ で囲まれる体積を求めよ。
3. $\boldsymbol A=(x^2+y-4)\boldsymbol i+3xy^2\boldsymbol j+(2xz+z^2)\boldsymbol k$ に対し、$\nabla\times\boldsymbol A$ と $\iint_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS$ を求めよ。$\boldsymbol n$ は外向き単位法線である。
4. $\displaystyle\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r$ を求めよ。

(3) フーリエ級数

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)=x(\pi-x)$ $(-\pi\leq x\leq\pi)$ を

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

と展開するとき、$a_n,b_n$ を求めよ。

题目描述

求给定矩阵的列向量关系、行列式与特征值；计算旋转抛物面所围体积、旋度的曲面积分及边界曲线积分；最后求周期函数 $x(\pi-x)$ 的傅里叶系数。

Kai

(1)

直接計算すると

$$\boxed{\boldsymbol a_3=9\boldsymbol a_1+5\boldsymbol a_2}, \qquad \boxed{\det A=0}.$$

また、

$$\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda^2+10\lambda+12)$$

より、固有値は

$$\boxed{0, -5+\sqrt{13}, -5-\sqrt{13}}$$

である。

(2)

(a)

$S$ は

$$z=4-x^2-y^2\quad (x^2+y^2\leq4)$$

で表される下向きの回転放物面であり、頂点は $(0,0,4)$ である。$C$ は

$$x^2+y^2=4,\qquad z=0$$

なる円で、$z>0$ 側から見て反時計回りである。

(b)

円柱座標を用いると

$$V=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r^2)r\,dr\,d\theta =\boxed{8\pi}.$$

(c)

$$\boxed{\nabla\times\boldsymbol A =\begin{pmatrix}0\\-2z\\3y^2-1\end{pmatrix}}.$$

$S$ の外向き面素ベクトルは

$$\boldsymbol n\,dS=(2x,2y,1)\,dx\,dy$$

である。$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq4\}$ とおけば、対称性より

$$\begin{aligned} \iint_S(\nabla\times\boldsymbol A)\cdot\boldsymbol n\,dS &=\iint_D\{-4y(4-x^2-y^2)+3y^2-1\}\,dx\,dy\\ &=3\iint_Dy^2\,dx\,dy-\iint_D1\,dx\,dy\\ &=12\pi-4\pi =\boxed{8\pi}. \end{aligned}$$

(d)

ストークスの定理より

$$\boxed{\displaystyle\oint_C\boldsymbol A\cdot d\boldsymbol r=8\pi}.$$

(3)

$$\begin{aligned} a_0&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\,dx =-\frac{2\pi^2}{3},\\ a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\cos nx\,dx =\frac{4(-1)^{n+1}}{n^2}\quad(n\geq1),\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\pi-x)\sin nx\,dx =\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}\quad(n\geq1). \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{ f(x)=-\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \frac{4(-1)^{n+1}}{n^2}\cos nx +\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{n}\sin nx \right\}}$$

である。