電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2023年8月実施 選択問題 基礎数学

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1)

$$A=\begin{pmatrix}-4&2&-1&-7\\0&5&-3&0\\0&4&-3&0\\3&-2&1&6\end{pmatrix},\qquad P_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix},\quad P_2=\begin{pmatrix}7\\1\\2\\-3\end{pmatrix},\quad P_3=\begin{pmatrix}9\\2\\4\\-1\end{pmatrix}.$$

(a) $\det A$ を求めよ。

(b) $AP_i=\alpha_iP_i$ を満たす実数 $\alpha_i$ の存在を判定し、存在する場合はその値を求めよ。

(c) 三つのベクトル間の関係 $P_i=a_jP_j+a_kP_k$ を整数係数で表せ。

(d) $P_4=(x,y,2,1)^{\mathsf T}\in\operatorname{span}\{P_1,P_2\}$ のとき、$P_4$ を求めよ。

(e) 自然数 $n$ に対し $A^nP_1,A^nP_2,A^nP_3$ を求めよ。

(2)

$f(x,y)=x^2+y^2$、$g(x,y)=3xy+y^2$ とし、長方形 $D=[-4,2]\times[-1,2]$ の境界を反時計回りに一周する経路を $C$ とする。

(a) $\oint_C(f\,dx+g\,dy)$ を求めよ。

(b) $G=f_x$、$F=g_y$ とするとき、$\iint_D(G-F)\,dx\,dy$ を求めよ。

(3)

単位球の内部を $V$、表面を $S$ とする。

(a) $S$ 上の点 $(x,y,z)$ における法線ベクトル $\boldsymbol n$ を求めよ。

(b) $\boldsymbol M=(2x,3y,-4z)^{\mathsf T}$ に対して $\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol M\,dV$ を求めよ。

(c) $\boldsymbol Q=(x,y,z)^{\mathsf T}$ に対して $\iint_S\boldsymbol Q\cdot\boldsymbol n\,dS$ を求めよ。

题目描述

计算四阶矩阵的行列式、特征向量、向量关系与矩阵幂；再求矩形上的线积分、二重积分，以及单位球上的散度体积分和通量。

Kai

(1)

(a)

行列式を計算すると、

$$\boxed{\det A=9}.$$

(b)

直接掛け算して、

$$AP_1=3P_1,\qquad AP_2=-P_2$$

であるから、

$$\boxed{\alpha_1=3,\qquad\alpha_2=-1}.$$

一方、

$$AP_3=(-29,-2,-4,21)^{\mathsf T}$$

は $P_3$ の定数倍でないので、$\boxed{\alpha_3\text{ は存在しない}}$。

(c)

$$\boxed{P_3=-5P_1+2P_2}.$$

(d)

$P_4=c_1P_1+c_2P_2$ とおく。第 3、第 4 成分より $c_2=1,\ c_1=-4$ となるので、

$$\boxed{P_4=(3,1,2,1)^{\mathsf T}}.$$

(e)

$P_3=-5P_1+2P_2$ を用いると、

$$\boxed{ A^nP_1=3^nP_1,\qquad A^nP_2=(-1)^nP_2,\qquad A^nP_3=-5\cdot3^nP_1+2(-1)^nP_2}.$$

(2)

(a)

Green の定理より、

$$\begin{aligned} \oint_C(f\,dx+g\,dy) &=\iint_D(g_x-f_y)\,dx\,dy\\ &=\int_{-4}^{2}\int_{-1}^{2}y\,dy\,dx =\boxed{9}. \end{aligned}$$

(b)

$$G-F=f_x-g_y=2x-(3x+2y)=-x-2y$$

であるから、

$$\boxed{\iint_D(G-F)\,dx\,dy=0}.$$

(3)

(a)

単位球面上では外向き単位法線ベクトルは

$$\boxed{\boldsymbol n=(x,y,z)^{\mathsf T}}$$

である。

(b)

$$\operatorname{div}\boldsymbol M=2+3-4=1$$

より、

$$\boxed{\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol M\,dV =\frac{4\pi}{3}}.$$

(c)

$\boldsymbol Q=(x,y,z)^{\mathsf T}=\boldsymbol n$ であるから、球面上で $\boldsymbol Q\cdot\boldsymbol n=1$。したがって、

$$\boxed{\iint_S\boldsymbol Q\cdot\boldsymbol n\,dS=4\pi}.$$