電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2023年8月実施 選択問題 基礎数学

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Matrix-Determinant
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Linear-Independence
• Matrix-Power
• Line-Integral
• Divergence-Theorem
• Surface-Normal

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

与えられた $4$ 次行列と三つのベクトルについて、行列式、固有ベクトル、一次関係、部分空間の元および行列のべき乗を求めよ。さらに長方形上の線積分・重積分と、単位球に関する発散・流束積分を計算せよ。

题目描述

计算四阶矩阵的行列式、特征向量、向量关系与矩阵幂；再求矩形上的线积分、二重积分，以及单位球上的散度体积分和通量。

Kai

(1)

(a)

行列式を計算すると、

$$\boxed{\det A=9}.$$

(b)

直接掛け算して、

$$AP_1=3P_1,\qquad AP_2=-P_2$$

であるから、

$$\boxed{\alpha_1=3,\qquad\alpha_2=-1}.$$

一方、

$$AP_3=(-29,-2,-4,21)^{\mathsf T}$$

は $P_3$ の定数倍でないので、$\boxed{\alpha_3\text{ は存在しない}}$。

(c)

$$\boxed{P_3=-5P_1+2P_2}.$$

(d)

$P_4=c_1P_1+c_2P_2$ とおく。第 3、第 4 成分より $c_2=1,\ c_1=-4$ となるので、

$$\boxed{P_4=(3,1,2,1)^{\mathsf T}}.$$

(e)

$P_3=-5P_1+2P_2$ を用いると、

$$\boxed{ A^nP_1=3^nP_1,\qquad A^nP_2=(-1)^nP_2,\qquad A^nP_3=-5\cdot3^nP_1+2(-1)^nP_2}.$$

(2)

(a)

Green の定理より、

$$\begin{aligned} \oint_C(f\,dx+g\,dy) &=\iint_D(g_x-f_y)\,dx\,dy\\ &=\int_{-4}^{2}\int_{-1}^{2}y\,dy\,dx =\boxed{9}. \end{aligned}$$

(b)

$$G-F=f_x-g_y=2x-(3x+2y)=-x-2y$$

であるから、

$$\boxed{\iint_D(G-F)\,dx\,dy=0}.$$

(3)

(a)

単位球面上では外向き単位法線ベクトルは

$$\boxed{\boldsymbol n=(x,y,z)^{\mathsf T}}$$

である。

(b)

$$\operatorname{div}\boldsymbol M=2+3-4=1$$

より、

$$\boxed{\iiint_V\operatorname{div}\boldsymbol M\,dV =\frac{4\pi}{3}}.$$

(c)

$\boldsymbol Q=(x,y,z)^{\mathsf T}=\boldsymbol n$ であるから、球面上で $\boldsymbol Q\cdot\boldsymbol n=1$。したがって、

$$\boxed{\iint_S\boldsymbol Q\cdot\boldsymbol n\,dS=4\pi}.$$