電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2022年8月実施 選択問題 6 基礎数学

标签：

• 电气通信大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化
• 二重积分
• 极坐标
• 一阶常微分方程
• 二阶线性常微分方程
• 局部极值

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

（1） 実数 $a$ に対して、

$$A=\begin{bmatrix}-1&1+a&-2\\0&1&0\\4&1-a&5\end{bmatrix}$$

を考える。

（a）$A$ の固有値をすべて求めよ。

（b）$A$ の最大の固有値を $\lambda_1$ とする。$\lambda_1$ に対する $A$ の固有空間の基底を求めよ。

（c）$A$ が対角化可能であるための $a$ の条件を求めよ。

（2） 関数 $g(x,y)=(x^2+xy)e^y$ について以下の問いに答えよ。

（a）$g_x(a,b)=g_y(a,b)=0$ を満たす点 $(a,b)$ をすべて求めよ。ただし、$g_x=\partial g/\partial x$、$g_y=\partial g/\partial y$ である。

（b）$g$ の極値を求めよ。

（3） 次の重積分の値を求めよ。

$$\begin{gathered} I=\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy,\\ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le\pi^2\}. \end{gathered}$$

（4） 次の微分方程式の一般解を求めよ。ここで、$y'=dy/dx$、$y''=d^2y/dx^2$ とする。

（a）$9yy'+4x=0$

（b）$y''+2y'-3y=0$

実数：real number、固有値：eigenvalue、固有空間：eigenspace、基底：basis、対角化可能：diagonalizable、極値：extremum、重積分：multiple integral、微分方程式：differential equation、一般解：general solution。

题目描述

（1） 对实数 $a$，考虑矩阵

$$A=\begin{bmatrix}-1&1+a&-2\\0&1&0\\4&1-a&5\end{bmatrix}.$$

（a）求 $A$ 的全部特征值。

（b）设 $A$ 的最大特征值为 $\lambda_1$，求 $A$ 对应于 $\lambda_1$ 的特征空间的一组基。

（c）求 $A$ 可对角化时 $a$ 必须满足的条件。

（2） 对函数 $g(x,y)=(x^2+xy)e^y$，回答：

（a）求全部满足 $g_x(a,b)=g_y(a,b)=0$ 的点 $(a,b)$。其中 $g_x=\partial g/\partial x$、$g_y=\partial g/\partial y$。

（b）求 $g$ 的极值。

（3） 求重积分

$$\begin{gathered} I=\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy,\\ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le\pi^2\}. \end{gathered}$$

（4） 求下列微分方程的通解。其中 $y'=dy/dx$、$y''=d^2y/dx^2$。

（a）$9yy'+4x=0$

（b）$y''+2y'-3y=0$

Kai

(1)

(a)

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda-1) \det\begin{pmatrix}\lambda+1&2\\ -4&\lambda-5\end{pmatrix}\\ &=(\lambda-1)^2(\lambda-3). \end{aligned}$$

したがって、固有値は

$$\boxed{1\ \text{（重複度 }2\text{）},\qquad 3}.$$

(b)

$\lambda_1=3$ に対して

$$(A-3I)x=0$$

を解くと $x_2=0$, $x_3=-2x_1$ となる。よって、

$$\boxed{ E_3=\operatorname{span} \left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\right\} }.$$

(c)

$\lambda=1$ に対する係数行列は

$$A-I= \begin{pmatrix} -2&1+a&-2\\ 0&0&0\\ 4&1-a&4 \end{pmatrix}.$$

固有空間が二次元となる条件は、第 $3$ 行が第 $1$ 行の $-2$ 倍となることである。したがって、

$$1-a=-2(1+a) \iff \boxed{a=-3}.$$

(2)

(a)

$$\begin{gathered} g_x=(2x+y)e^y,\\ g_y=x(x+y+1)e^y. \end{gathered}$$

したがって停留点は

$$\boxed{(0,0),\ (1,-2)}.$$

(b)

Hesse 行列は

$$H_g=e^y \begin{pmatrix} 2&1+2x+y\\ 1+2x+y&x(x+y+2) \end{pmatrix}.$$

$(0,0)$ では $\det H_g=-1<0$ なので鞍点である。$(1,-2)$ では

$$H_g(1,-2)=e^{-2} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$$

が正定値である。よって、

$$\begin{gathered} \boxed{\text{極小値 }-e^{-2}\text{ を }(1,-2)\text{ でとる}},\\ \boxed{\text{極大値なし}}. \end{gathered}$$

(3)

極座標を用いると、

$$\begin{aligned} I &=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi r\sin r\,dr\,d\theta\\ &=2\pi[-r\cos r+\sin r]_0^\pi\\ &=\boxed{2\pi^2}. \end{aligned}$$

(4)

(a)

$$9yy'+4x=0 \iff \frac{d}{dx}(9y^2+4x^2)=0.$$

したがって一般解は

$$\boxed{9y^2+4x^2=C}$$

である。

(b)

特性方程式は

$$r^2+2r-3=(r-1)(r+3)=0.$$

よって一般解は

$$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-3x}}.$$

Reference

• 大学公表の原題