電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2022年8月実施 選択問題 6 基礎数学

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

1. 実数 $a$ に対して
   $$A=\begin{pmatrix} -1&1+a&-2\\ 0&1&0\\ 4&1-a&5 \end{pmatrix}$$
   の固有値、最大固有値の固有空間、および対角化可能となる $a$ の条件を求めよ。
2. $g(x,y)=(x^2+xy)e^y$ の停留点と極値を求めよ。
3. 円板 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le\pi^2\}$ 上の
   $$\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy$$
   を求めよ。
4. 微分方程式 $9yy'+4x=0$ と $y''+2y'-3y=0$ の一般解を求めよ。

题目描述

本题包括含参数矩阵的特征值、特征空间与可对角化条件，二元函数的驻点和极值，圆域上的二重积分，以及一阶、二阶常微分方程。

Kai

(1)

(a)

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda-1) \det\begin{pmatrix}\lambda+1&2\\-4&\lambda-5\end{pmatrix}\\ &=(\lambda-1)^2(\lambda-3). \end{aligned}$$

したがって、固有値は

$$\boxed{1\ \text{（重複度 }2\text{）},\qquad 3}.$$

(b)

$\lambda_1=3$ に対して

$$(A-3I)x=0$$

を解くと $x_2=0$, $x_3=-2x_1$ となる。よって、

$$\boxed{ E_3=\operatorname{span} \left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\right\} }.$$

(c)

$\lambda=1$ に対する係数行列は

$$A-I= \begin{pmatrix} -2&1+a&-2\\ 0&0&0\\ 4&1-a&4 \end{pmatrix}.$$

固有空間が二次元となる条件は、第 $3$ 行が第 $1$ 行の $-2$ 倍となることである。したがって、

$$1-a=-2(1+a) \iff \boxed{a=-3}.$$

(2)

(a)

$$g_x=(2x+y)e^y,\qquad g_y=x(x+y+1)e^y.$$

したがって停留点は

$$\boxed{(0,0),\ (1,-2)}.$$

(b)

Hesse 行列は

$$H_g=e^y \begin{pmatrix} 2&1+2x+y\\ 1+2x+y&x(x+y+2) \end{pmatrix}.$$

$(0,0)$ では $\det H_g=-1<0$ なので鞍点である。$(1,-2)$ では

$$H_g(1,-2)=e^{-2} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$$

が正定値である。よって、

$$\boxed{\text{極小値 }-e^{-2}\text{ を }(1,-2)\text{ でとる}}, \qquad \boxed{\text{極大値なし}}.$$

(3)

極座標を用いると、

$$\begin{aligned} I &=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi r\sin r\,dr\,d\theta\\ &=2\pi[-r\cos r+\sin r]_0^\pi\\ &=\boxed{2\pi^2}. \end{aligned}$$

(4)

(a)

$$9yy'+4x=0 \iff \frac{d}{dx}(9y^2+4x^2)=0.$$

したがって一般解は

$$\boxed{9y^2+4x^2=C}$$

である。

(b)

特性方程式は

$$r^2+2r-3=(r-1)(r+3)=0.$$

よって一般解は

$$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-3x}}.$$