電気通信大学 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 2021年8月実施 選択問題 基礎数学

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

行列

$$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&-1&2\\0&2&1\end{pmatrix}$$

について固有値・固有ベクトル、$E,A,A^2$ の一次独立性、Cayley--Hamilton の関係式および $A^{15}-4A^{14}+3A^{13}$ を求めよ。さらに、二変数関数

$$f(x,y)=3x^2-12xy+y^3+6y^2-15y-3$$

の極値と、次の重積分を求めよ。

$$\iint_{D_1}\frac{dx\,dy}{5-\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad D_1=\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le16\},$$

$$\iint_{D_2}(x^2-y^2)^2\,dx\,dy, \qquad D_2=\{(x,y)\mid2\le x+y\le3,\ -1\le x-y\le1\}.$$

题目描述

研究一个三阶实对称矩阵的谱、Cayley–Hamilton 关系和高次幂；再求二元函数的极值以及极坐标、线性换元下的二重积分。

Kai

(1)

(a)

固有値と対応する固有ベクトルは

$$\begin{array}{c|c} \lambda&\text{固有ベクトル}\\ \hline 3&(1,1,1)^{\mathsf T}\\ 1&(1,0,-1)^{\mathsf T}\\ -3&(1,-2,1)^{\mathsf T} \end{array}$$

である。したがって最大固有値は $\boxed{3}$、対応する固有ベクトルは $\boxed{(1,1,1)^{\mathsf T}}$ である。

(b)

$aA^2+bA+cE=O$ とする。各固有ベクトルに作用させると、多項式

$$p(\lambda)=a\lambda^2+b\lambda+c$$

は相異なる 3 点 $3,1,-3$ で $0$ となる。$\deg p\le2$ より $p\equiv0$ であり、

$$\boxed{a=b=c=0}.$$

(c)

特性多項式は

$$(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+3) =\lambda^3-\lambda^2-9\lambda+9.$$

Cayley--Hamilton の定理より、

$$A^3-A^2-9A+9E=O.$$

したがって、

$$\boxed{s=-1,\qquad t=-9,\qquad u=9}.$$

(d)

$$A^{15}-4A^{14}+3A^{13} =A^{13}(A-E)(A-3E)$$

は固有値 $-3$ の固有空間上でのみ $24(-3)^{13}$ 倍となる。よって、

$$\boxed{ A^{15}-4A^{14}+3A^{13} =4(-3)^{13} \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ -2&4&-2\\ 1&-2&1 \end{pmatrix}}.$$

(2)

$$f(x,y)=3x^2-12xy+y^3+6y^2-15y-3$$

とする。$f_x=f_y=0$ から停留点は

$$(10,5),\qquad(-2,-1)$$

である。Hesse 行列式は $36(y-2)$ なので、$(-2,-1)$ は鞍点、$(10,5)$ は極小点である。したがって、

$$\boxed{\text{極小値 }f(10,5)=-103}, \qquad \boxed{\text{極大値なし}}.$$

(3)

(a)

極座標に変換すると、

$$\begin{aligned} \iint_D\frac{dx\,dy}{5-\sqrt{x^2+y^2}} &=2\pi\int_1^4\frac{r}{5-r}\,dr\\ &=\boxed{20\pi\log2-6\pi}. \end{aligned}$$

(b)

$u=x+y,\ v=x-y$ とおくと $dx\,dy=\frac12\,du\,dv$、 $x^2-y^2=uv$ である。よって、

$$\begin{aligned} \iint_D(x^2-y^2)^2\,dx\,dy &=\frac12\int_2^3u^2\,du\int_{-1}^1v^2\,dv\\ &=\boxed{\frac{19}{9}}. \end{aligned}$$