電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2025年8月実施 選択問題 離散数学とオートマトン

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$A=\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus\{0\})$$

上に

$$(a,b)\sim(c,d)\iff ad=bc$$

を定義する。$\sim$ が同値関係であることを示し、同値類を表せ。また、$f(a,b)=a/b$ から誘導される写像 $\bar f:A/{\sim}\to\mathbb Q$ が全単射であることを示せ。

题目描述

在整数对集合 $A$ 上以 $ad=bc$ 定义关系。证明其为等价关系，写出等价类，并证明映射 $(a,b)\mapsto a/b$ 在商集上诱导出到 $\mathbb Q$ 的双射。

Kai

(1)

• 反射律：$ab=ba$ より $(a,b)\sim(a,b)$。
• 対称律：$ad=bc$ ならば $cb=da$ であるから $(c,d)\sim(a,b)$。
• 推移律：$ad=bc, cf=de$ ならば

$$adf=bcf=bde.$$

$d\neq0$ より $af=be$、すなわち $(a,b)\sim(e,f)$ である。

よって $\sim$ は同値関係である。

(2)

4 つの元はすべて $a/b=1/2$ を満たす。したがって、

$$\boxed{(2,4)\sim(3,6)\sim(-1,-2)\sim(1,2)}.$$

(3)

$g=\gcd(|a|,|b|)$、$a_0=a/g$、$b_0=b/g$ とおく。$\gcd(|a_0|,|b_0|)=1$ であるから、

$$\boxed{ [(a,b)]=\{(ka_0,kb_0)\in A\mid k\in\mathbb Z\setminus\{0\}\}}$$

である。

(4)

(a)

$(a,b)\sim(c,d)$ ならば $ad=bc$ であるから、

$$\frac ab=\frac cd.$$

よって $f(a,b)=a/b$ は $\sim$ に関して well-defined である。

(b)

誘導写像は

$$\bar f:A/{\sim}\longrightarrow\mathbb Q,\qquad \bar f([(a,b)])=\frac ab$$

である。

任意の $r\in\mathbb Q$ は $r=a/b$ ($a\in\mathbb Z, b\neq0$) と書けるから、$\bar f$ は全射である。また、

$$\bar f([(a,b)])=\bar f([(c,d)])$$

ならば $a/b=c/d$、すなわち $ad=bc$ である。よって $(a,b)\sim(c,d)$ となり、同値類は等しい。したがって $\bar f$ は単射でもある。

以上より、

$$\boxed{\bar f\text{ は全単射}}$$

である。