電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2025年8月実施 選択問題 数値計算

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Central-Finite-Difference-for-Second-Derivative
• Roundoff-vs-Truncation-Error
• Floating-Point-Rounding-Error

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

無限回微分可能な $f$ と $h>0$ に対し、Taylor 展開を用いて $f'(\alpha)$ の中心差分と 3 点前進差分、およびそれぞれの離散化誤差の主要項を求めよ。$f(\alpha),\ldots,f(\alpha+(n-1)h)$ で $f''(\alpha)$ を 2 次精度で近似する最小の $n$ と近似式も求めよ。

さらに、前進差分

$$\frac{f(\alpha+h)-f(\alpha)}{h}$$

について、$f(\alpha+h),f(\alpha)$ の丸め誤差の上界はともに $|f(\alpha)|u$（$0<u\ll1$）、差の誤差上界は両者の和、$h$ で割ると誤差上界も $1/h$ 倍になると仮定する。丸め誤差の上界、およびそれと離散化誤差の主要項の絶対値の和を最小にする $h$ と最小値を求めよ。

题目描述

由 Taylor 展开推导一阶导数的中心差分和三点前向差分，以及二阶导数的二阶精度前向差分；再求浮点舍入误差上界、最优步长与最小总误差。

Kai

1.

$\alpha$ を中心とする $f(\alpha+h)$ と $f(\alpha-h)$ の Taylor 展開を引くと、

$$f(\alpha+h)-f(\alpha-h) =2hf'(\alpha)+\frac{2h^3}{3!}f'''(\alpha)+O(h^5).$$

よって、

$$\boxed{f'(\alpha)\simeq \frac{f(\alpha+h)-f(\alpha-h)}{2h}}$$

であり、2 次精度、誤差の主要項は

$$\boxed{-\frac{h^2}{6}f'''(\alpha)}$$

である。

2.

$f(\alpha+h),f(\alpha+2h)$ を Taylor 展開して係数を比較すると、

$$f'(\alpha) =\frac{-3f(\alpha)+4f(\alpha+h)-f(\alpha+2h)}{2h} +\frac{h^2}{3}f'''(\alpha)+O(h^3).$$

したがって、

$$\boxed{f'(\alpha)\simeq \frac{-3f(\alpha)+4f(\alpha+h)-f(\alpha+2h)}{2h}}$$

であり、2 次精度、誤差の主要項は

$$\boxed{\frac{h^2}{3}f'''(\alpha)}.$$

3.

2 次精度とするためには、$f,f',f'''$ の項を消去する必要がある。したがって最小の関数値数は

$$\boxed{n=4}$$

である。係数比較より、

$$\boxed{ f''(\alpha)\simeq \frac{2f(\alpha)-5f(\alpha+h)+4f(\alpha+2h)-f(\alpha+3h)}{h^2}}$$

を得る。

4.

$f(\alpha+h)$ と $f(\alpha)$ の丸め誤差の上界をともに $|f(\alpha)|u$ とすると、前進差分の丸め誤差の上界は

$$\boxed{\frac{2|f(\alpha)|u}{h}}.$$

5.

全誤差を

$$E(h)=\frac h2|f''(\alpha)|+\frac{2|f(\alpha)|u}{h}$$

とおく。$|f(\alpha)|>0$ かつ $|f''(\alpha)|>0$ のとき、相加相乗平均または $E'(h)=0$ より、

$$\boxed{h=2\sqrt{\frac{|f(\alpha)|u}{|f''(\alpha)|}}}.$$

このとき、

$$\boxed{E_{\min}=2\sqrt{|f(\alpha)|\,|f''(\alpha)|\,u}}.$$

公式問題（PDF第13頁）には $f(\alpha),f''(\alpha)$ が非零という条件はないため、退化した場合を区別する。$f(\alpha)=0$、$f''(\alpha)\ne0$ ならこの誤差モデルは $h\downarrow0$ で下限0となり、正の有限 $h$ で最小値を取らない。$f''(\alpha)=0$、$f(\alpha)\ne0$ なら表示したモデルは形式的には $h\to\infty$ で下限0となるが、小さい $h$ に対する打切り近似なので、実際の最適刻み幅には次の非零の高階項を含める必要がある。両者が0ならこのモデルは恒等的に0で、高階項による評価が必要となる。