電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2025年8月実施 選択問題 確率統計

标签：

• 电气通信大学
• 二项分布
• 矩生成函数
• 极大似然估计
• 贝塔–伯努利模型

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$X\sim\operatorname{Bin}(m_1,q)$、$Y\sim\operatorname{Bin}(m_2,q)$ を独立とする。ただし $m_1,m_2$ は既知の正整数、$0<q<1$ とする。$X$ の積率母関数、期待値・分散、観測値 $X=x$ に基づく $q$ の最尤推定量を求めよ。さらに $Q\sim\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$（$\alpha,\beta>0$）とし、$Q$ を条件として $X,Y$ は独立に上記の二項分布に従うとする。$X=x$ の観測後分布と $Y$ の予測分布、および $S=X+Y$ の $Q=q$ の下での分布を求めよ。

题目描述

给定参数相同的两个独立二项分布，求矩生成函数、期望与方差、极大似然估计；再以 Beta 分布为先验，求后验参数、后验预测分布及和的条件分布。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} M_X(t) &=\sum_{x=0}^{m_1}\binom{m_1}{x}(qe^t)^x(1-q)^{m_1-x}\\ &=\boxed{(qe^t+1-q)^{m_1}}. \end{aligned}$$

(2)

$M_X'(0)$ と $M_X''(0)$ より、

$$\boxed{E[X]=m_1q},\qquad \boxed{V[X]=m_1q(1-q)}.$$

(3)

$$L(q)=\binom{m_1}{x}q^x(1-q)^{m_1-x}$$

とすると、$0<x<m_1$ では

$$\frac{d}{dq}\log L(q)=\frac{x}{q}-\frac{m_1-x}{1-q}=0.$$

したがって、

$$\boxed{\widehat q=\frac{x}{m_1}}.$$

$x=0$ では $q\downarrow0$、$x=m_1$ では $q\uparrow1$ に従い尤度が増加するため、題設の開区間 $0<q<1$ 内に最尤推定値は存在しない。パラメータ空間を $[0,1]$ とすれば、端点でも $\widehat q=x/m_1$ である。

(4)

Bayes の定理より、

$$f_{Q\mid X=x}(q)\propto q^{x+\alpha-1}(1-q)^{m_1-x+\beta-1}.$$

よって、

$$\boxed{\alpha'=x+\alpha},\qquad \boxed{\beta'=m_1-x+\beta}.$$

(5)

$$\begin{aligned} P(Y=y\mid X=x) &=\int_0^1\binom{m_2}{y}q^y(1-q)^{m_2-y} \frac{q^{\alpha'-1}(1-q)^{\beta'-1}}{B(\alpha',\beta')}\,dq\\ &=\boxed{ \binom{m_2}{y} \frac{B(y+x+\alpha,\ m_2-y+m_1-x+\beta)} {B(x+\alpha,\ m_1-x+\beta)}}. \end{aligned}$$

(6)

Vandermonde の恒等式を用いると、

$$\begin{aligned} P(S=s\mid Q=q) &=\sum_k\binom{m_1}{k}\binom{m_2}{s-k} q^s(1-q)^{m_1+m_2-s}\\ &=\binom{m_1+m_2}{s}q^s(1-q)^{m_1+m_2-s}. \end{aligned}$$

したがって、

$$\boxed{S\mid Q=q\sim\operatorname{Bin}(m_1+m_2,q)}.$$