電気通信大学情報理工学研究科情報・ネットワーク工学専攻 2025年8月実施必須問題微分積分

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

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2 変数関数

f(x,y)=xy^2+2x^2-2xy-3x+1

と曲線 $f(x,y)=0$ について、点 $(1,2)$ における法線と $f$ の極値を求めよ。また、指定された 3 つの領域上の 2 重積分を計算せよ。

题目描述

对二元函数 $f(x,y)$ ，求隐曲线 $f=0$ 在 $(1,2)$ 处的法线及 $f$ 的所有极值；并计算题中给定的三个二重积分。

Kai

(1)

(i)

f_x=y^2+4x-2y-3,\qquad f_y=2x(y-1).

$\nabla f(1,2)=(1,2)$ であるから、法線は

y-2=2(x-1),\qquad \boxed{y=2x}.

(ii)

$f_x=f_y=0$ の解は

(0,-1),\quad(0,3),\quad(1,1)

である。Hesse 行列は

H=\begin{pmatrix}4&2y-2\\2y-2&2x\end{pmatrix}.

$(0,-1),(0,3)$ では $\det H<0$ 、 $(1,1)$ では $H$ は正定値である。よって、

\boxed{f(1,1)=-1\text{ が極小値}}

である。

(2)

(i)

$u=\sqrt{x},\ v=\sqrt{y}$ とおくと $dx\,dy=4uv\,du\,dv$ 、領域は $u,v\geq0, u+v\leq1$ となる。したがって、

I_1=4\int_0^1\int_0^{1-u}u^2v^2\,dv\,du =\boxed{\frac1{45}}.

(ii)

$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ とおくと

0\leq r\leq1,\qquad 0\leq\theta\leq\tan^{-1}\frac34.

よって、

I_2=\int_0^{\tan^{-1}(3/4)}\int_0^1r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta =\boxed{\frac4{15}}.

(iii)

積分順序を変えると $0\leq y\leq1, 0\leq x\leq\sqrt y$ であるから、

\begin{aligned} I_3 &=\int_0^1\int_0^{\sqrt y}x\log(1+y^2)\,dx\,dy\\ &=\frac12\int_0^1y\log(1+y^2)\,dy =\boxed{\frac12\log2-\frac14}. \end{aligned}

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