電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2025年8月実施 必須問題 微分積分

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• 电气通信大学
• 多元函数微分
• 多元极值的海森矩阵判别法
• 二重积分
• 变量代换与雅可比行列式

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

2 変数関数

$$f(x,y)=xy^2+2x^2-2xy-3x+1$$

と曲線 $f(x,y)=0$ について、点 $(1,2)$ における法線と $f$ の極値を求めよ。また、次の 2 重積分を計算せよ。

$$I_1=\iint_{D_1}\sqrt{xy}\,dx\,dy,\qquad D_1=\{(x,y)\mid x,y\ge0,\ \sqrt x+\sqrt y\le1\},$$

$$I_2=\iint_{D_2}(x+y)\,dx\,dy,\qquad D_2=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ 0\le4y\le3x\},$$

$$I_3=\iint_{D_3}x\log(1+y^2)\,dx\,dy,\qquad D_3=\{(x,y)\mid x\ge0,\ x^2\le y\le1\}.$$

题目描述

对二元函数 $f(x,y)$，求隐曲线 $f=0$ 在 $(1,2)$ 处的法线及 $f$ 的所有极值；并计算题中给定的三个二重积分。

Kai

(1)

(i)

$$f_x=y^2+4x-2y-3,\qquad f_y=2x(y-1).$$

$\nabla f(1,2)=(1,2)$ であるから、法線は

$$y-2=2(x-1),\qquad \boxed{y=2x}.$$

(ii)

$f_x=f_y=0$ の解は

$$(0,-1),\quad(0,3),\quad(1,1)$$

である。Hesse 行列は

$$H=\begin{pmatrix}4&2y-2\\2y-2&2x\end{pmatrix}.$$

$(0,-1),(0,3)$ では $\det H<0$、$(1,1)$ では $H$ は正定値である。よって、

$$\boxed{f(1,1)=-1\text{ が極小値}}$$

である。

(2)

(i)

$u=\sqrt{x},\ v=\sqrt{y}$ とおくと $dx\,dy=4uv\,du\,dv$、領域は $u,v\geq0, u+v\leq1$ となる。したがって、

$$I_1=4\int_0^1\int_0^{1-u}u^2v^2\,dv\,du =\boxed{\frac1{45}}.$$

(ii)

$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ とおくと

$$0\leq r\leq1,\qquad 0\leq\theta\leq\tan^{-1}\frac34.$$

よって、

$$I_2=\int_0^{\tan^{-1}(3/4)}\int_0^1r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta =\boxed{\frac4{15}}.$$

(iii)

積分順序を変えると $0\leq y\leq1, 0\leq x\leq\sqrt y$ であるから、

$$\begin{aligned} I_3 &=\int_0^1\int_0^{\sqrt y}x\log(1+y^2)\,dx\,dy\\ &=\frac12\int_0^1y\log(1+y^2)\,dy =\boxed{\frac12\log2-\frac14}. \end{aligned}$$