電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2025年8月実施 必須問題 線形代数

标签：

• 电气通信大学
• 特征值与特征向量
• 基与维数
• 线性变换

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{pmatrix},\quad u=\begin{pmatrix}4\\-1\\-5\\2\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}11\\-5\\1\\k\end{pmatrix}$$

とする。$Au$ と $A$ の固有値を求めよ。3 次元固有空間を $V$ とし、

$$p_1=(\alpha,1,0,0)^{\mathsf T},\quad p_2=(\beta,0,1,0)^{\mathsf T},\quad p_3=(\gamma,0,0,1)^{\mathsf T}$$

が $V$ の基底 $\mathcal A=(p_1,p_2,p_3)$ となる $\alpha,\beta,\gamma$ と、$Av\in V$ となる $k$ を求めよ。その値を用い、$W=\operatorname{span}\{u,v\}$ 上の写像 $f:W\to V$, $f(x)=Ax$ の基底 $(u,v)$ と $\mathcal A$ に関する表現行列を求めよ。

题目描述

给定矩阵 $A$ 及向量 $u,v$，求 $Au$、$A$ 的特征值、三维特征空间的指定基，使 $Av$ 属于该空间的 $k$，以及线性映射 $x\mapsto Ax$ 在两组基下的表示矩阵。

Kai

(1)

$$Au= \begin{pmatrix} -4\\1\\5\\-2 \end{pmatrix}.$$

(2)

$A=J-I$ であり、$J$ の固有値は $4,0,0,0$ である。したがって、

$$\boxed{\lambda=3,-1,-1,-1}.$$

(3)

3 次元の固有空間は

$$V=\left\{x\in\mathbb R^4\mid x_1+x_2+x_3+x_4=0\right\}$$

である。よって各ベクトルの成分和を $0$ とおけば、

$$\boxed{\alpha=\beta=\gamma=-1}.$$

(4)

$\boldsymbol 1^{\mathsf T}A=3\boldsymbol 1^{\mathsf T}$ より、$Av\in V$ の条件は $v\in V$ と同値である。したがって、

$$11-5+1+k=0,\qquad \boxed{k=-7}.$$

(5)

$V$ の指定基底を

$$\mathcal A=\left( \begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \right)$$

とする。$u,v\in V$ では $Ax=-x$ であるから、

$$[Au]_{\mathcal A}=\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix},\qquad [Av]_{\mathcal A}=\begin{pmatrix}5\\-1\\7\end{pmatrix}.$$

よって、求める表現行列は

$$\boxed{ M=\begin{pmatrix} 1&5\\ 5&-1\\ -2&7 \end{pmatrix}}$$

である。