電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2024年8月実施 選択問題 確率統計

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• Mixed-Distribution
• Normal-Distribution
• Moment-Generating-Function
• Maximum-Likelihood-Estimation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

確率変数 $X$ の密度関数を

$$f_X(x)= \frac{w_1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right\} +\frac{w_2}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right\}$$

とする。ただし $\sigma>0$, $w_1,w_2\ge0$, $w_1+w_2=1$ である。積率母関数、期待値、分散、一次変換の期待値と分散を求めよ。さらに $\mu=1$ のとき重みを動かして分散を最大化し、$w_1=0,w_2=1$ のとき $\sigma$ の最尤推定量を求め、独立同分布な $X_1,\ldots,X_n$ の和の積率母関数を求めよ。

题目描述

给定两个正态分布的混合密度，求矩生成函数、均值和方差；研究混合权重变化时的最大方差，求正态尺度参数的极大似然估计，并求独立同分布随机变量之和的矩生成函数。

Kai

(1)

$X$ は確率 $w_1$ で $N(\mu,1)$、確率 $w_2$ で $N(0,\sigma^2)$ に従う。したがって、

$$\boxed{ M_X(t)=w_1e^{\mu t+t^2/2} +w_2e^{\sigma^2t^2/2} }.$$

(2)

$$\boxed{E[X]=M_X'(0)=w_1\mu}.$$

(3)

$$E[X^2]=M_X''(0)=w_1(1+\mu^2)+w_2\sigma^2.$$

よって、

$$\boxed{ V[X]=w_1+w_2\sigma^2+w_1w_2\mu^2 }.$$

(4)

$$\boxed{E[5X+7]=5w_1\mu+7},$$

$$\boxed{ V[5X+7] =25\left(w_1+w_2\sigma^2+w_1w_2\mu^2\right) }.$$

(5)

$\mu=1$, $p=w_1$, $w_2=1-p$ とおくと、

$$V[X]=\sigma^2+(2-\sigma^2)p-p^2$$

である。したがって、

$$\boxed{ \begin{array}{c|c|c|c} \text{条件}&w_1&w_2&\max V[X]\\ \hline 0<\sigma\le\sqrt2 &1-\dfrac{\sigma^2}{2} &\dfrac{\sigma^2}{2} &1+\dfrac{\sigma^4}{4}\\[6pt] \sigma>\sqrt2 &0&1&\sigma^2 \end{array}}$$

を得る。

(6)

$w_1=0,w_2=1$ のとき、

$$\ell(\sigma) =-n\log\sigma-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^nX_i^2+\text{const.}$$

である。$\ell'(\sigma)=0$ より、

$$\boxed{ \widehat{\sigma} =\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2} }.$$

(7)

$Y=\sum_{i=1}^nX_i$ とすると、独立性より

$$\boxed{ M_Y(t) =\left( w_1e^{\mu t+t^2/2} +w_2e^{\sigma^2t^2/2} \right)^n }.$$