電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2024年8月実施 必須問題 微分積分

标签：

• 电气通信大学
• 隐函数求导
• 二重积分
• 变量代换与雅可比行列式
• 局部极值

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の問いに答えよ。

（1） 2 変数関数 $g(x,y)=x^2y-xy^2-2$ に対して、以下の設問に答えよ。

（i）点 $(-1,-2)$ のまわりで $g(x,y)=0$ によって定義される $C^1$ 級の陰関数を $y=\varphi(x)$ とするとき、導関数 $\varphi'(x)$ を $x,y$ の有理式で表せ。さらに、$\varphi''(-1)$ の値を求めよ。

（ii）条件 $g(x,y)=0$ の下で、関数 $f(x,y)=y-x$ の極値をすべて求めよ。

（2） 次の 2 重積分の値を求めよ。

（i）

$$\begin{aligned} I_1&=\iint_{D_1}y\cos(x-y)\,dx\,dy,\\ D_1&=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le\pi/2\}. \end{aligned}$$

（ii）

$$\begin{aligned} I_2&=\iint_{D_2}\frac{dx\,dy}{\sqrt{(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)}},\\ D_2&=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ 1/4\le x^2+y^2\le3/4\}. \end{aligned}$$

（iii）

$$\begin{aligned} I_3&=\iint_{D_3}\frac{(x-y)^4}{1+(x+y)^6}\,dx\,dy,\\ D_3&=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1\}. \end{aligned}$$

陰関数：implicit function、有理式：rational expression、極値：extremum、2 重積分：double integral。

题目描述

回答下列问题。

（1） 对二元函数 $g(x,y)=x^2y-xy^2-2$，回答：

（i）设 $y=\varphi(x)$ 是在点 $(-1,-2)$ 附近由 $g(x,y)=0$ 定义的 $C^1$ 类隐函数。将导函数 $\varphi'(x)$ 表示为 $x,y$ 的有理式，并求 $\varphi''(-1)$。

（ii）在约束 $g(x,y)=0$ 下，求函数 $f(x,y)=y-x$ 的全部极值。

（2） 求下列二重积分的值。

（i）

$$\begin{aligned} I_1&=\iint_{D_1}y\cos(x-y)\,dx\,dy,\\ D_1&=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le\pi/2\}. \end{aligned}$$

（ii）

$$\begin{aligned} I_2&=\iint_{D_2}\frac{dx\,dy}{\sqrt{(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)}},\\ D_2&=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ 1/4\le x^2+y^2\le3/4\}. \end{aligned}$$

（iii）

$$\begin{aligned} I_3&=\iint_{D_3}\frac{(x-y)^4}{1+(x+y)^6}\,dx\,dy,\\ D_3&=\{(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1\}. \end{aligned}$$

Kai

(1)

(i)

$$g_x=2xy-y^2,\qquad g_y=x^2-2xy.$$

$g_y(-1,-2)=-3\ne0$ より陰関数が存在し、

$$\boxed{ \varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y} =-\frac{2xy-y^2}{x^2-2xy} }.$$

$(-1,-2)$ では $\varphi'(-1)=0$ である。さらに

$$g_{xx}+2g_{xy}\varphi' +g_{yy}(\varphi')^2+g_y\varphi''=0$$

より、

$$\boxed{\varphi''(-1)=-\frac43}.$$

(ii)

Lagrange の未定乗数法より、極値の候補では

$$g_x+g_y=x^2-y^2=0.$$

$x=y$ は $g=0$ を満たさず、$x=-y$ から $(x,y)=(-1,1)$ を得る。

$u=y-x$ とおくと、制約は

$$ux(x+u)=-2$$

であり、$x$ が実数となる条件は

$$u<0\quad\text{または}\quad u\ge2$$

である。したがって $(x,y)=(-1,1)$ で極小となり、

$$\boxed{\text{極小値 }2},\qquad \boxed{\text{極大値なし}}.$$

(2)

(i)

$u=x+y$, $v=x-y$ とおくと、$dx\,dy=\frac12\,du\,dv$ であり、

$$0\le u\le\frac{\pi}{2},\qquad -u\le v\le u.$$

よって

$$\begin{aligned} I_1 &=\frac14\int_0^{\pi/2}\int_{-u}^{u}(u-v)\cos v\,dv\,du\\ &=\frac12\int_0^{\pi/2}u\sin u\,du =\boxed{\frac12}. \end{aligned}$$

(ii)

$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ とおくと、

$$\frac12\le r\le\frac{\sqrt3}{2}, \qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.$$

したがって、

$$\begin{aligned} I_2 &=\int_0^{\pi/2}\int_{1/2}^{\sqrt3/2} \frac{dr\,d\theta}{\sqrt{1-r^2}}\\ &=\frac{\pi}{2} \left[\sin^{-1}r\right]_{1/2}^{\sqrt3/2} =\boxed{\frac{\pi^2}{12}}. \end{aligned}$$

(iii)

再び $u=x+y$, $v=x-y$ とおくと、

$$\begin{aligned} I_3 &=\frac12\int_0^1\int_{-u}^{u} \frac{v^4}{1+u^6}\,dv\,du\\ &=\frac15\int_0^1\frac{u^5}{1+u^6}\,du =\boxed{\frac{\log2}{30}}. \end{aligned}$$

Reference

• 大学公表の原題