電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2024年8月実施 必須問題 微分積分

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$g(x,y)=x^2y-xy^2-2$$

とする。点 $(-1,-2)$ の近傍で $g(x,y)=0$ が定める陰関数の導関数と二階導関数を求め、同じ制約下で $f(x,y)=y-x$ の極値を求めよ。また、次の二重積分を計算せよ。

$$I_1=\iint_{D_1}y\cos(x-y)\,dx\,dy, \quad D_1=\left\{(x,y)\mid x,y\ge0,\ x+y\le\frac{\pi}{2}\right\},$$

$$I_2=\iint_{D_2} \frac{dx\,dy}{\sqrt{(x^2+y^2)(1-x^2-y^2)}}, \quad D_2=\left\{(x,y)\mid x,y\ge0,\ \frac14\le x^2+y^2\le\frac34\right\},$$

$$I_3=\iint_{D_3}\frac{(x-y)^4}{1+(x+y)^6}\,dx\,dy, \quad D_3=\{(x,y)\mid x,y\ge0,\ x+y\le1\}.$$

题目描述

对给定隐函数求一、二阶导数，在约束曲线上求函数的全部极值，并通过适当的变量代换计算三个二重积分。

Kai

(1)

(i)

$$g_x=2xy-y^2,\qquad g_y=x^2-2xy.$$

$g_y(-1,-2)=-3\ne0$ より陰関数が存在し、

$$\boxed{ \varphi'(x)=-\frac{g_x}{g_y} =-\frac{2xy-y^2}{x^2-2xy} }.$$

$(-1,-2)$ では $\varphi'(-1)=0$ である。さらに

$$g_{xx}+2g_{xy}\varphi' +g_{yy}(\varphi')^2+g_y\varphi''=0$$

より、

$$\boxed{\varphi''(-1)=-\frac43}.$$

(ii)

Lagrange の未定乗数法より、極値の候補では

$$g_x+g_y=x^2-y^2=0.$$

$x=y$ は $g=0$ を満たさず、$x=-y$ から $(x,y)=(-1,1)$ を得る。

$u=y-x$ とおくと、制約は

$$ux(x+u)=-2$$

であり、$x$ が実数となる条件は

$$u<0\quad\text{または}\quad u\ge2$$

である。したがって $(x,y)=(-1,1)$ で極小となり、

$$\boxed{\text{極小値 }2},\qquad \boxed{\text{極大値なし}}.$$

(2)

(i)

$u=x+y$, $v=x-y$ とおくと、$dx\,dy=\frac12\,du\,dv$ であり、

$$0\le u\le\frac{\pi}{2},\qquad -u\le v\le u.$$

よって

$$\begin{aligned} I_1 &=\frac14\int_0^{\pi/2}\int_{-u}^{u}(u-v)\cos v\,dv\,du\\ &=\frac12\int_0^{\pi/2}u\sin u\,du =\boxed{\frac12}. \end{aligned}$$

(ii)

$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ とおくと、

$$\frac12\le r\le\frac{\sqrt3}{2}, \qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.$$

したがって、

$$\begin{aligned} I_2 &=\int_0^{\pi/2}\int_{1/2}^{\sqrt3/2} \frac{dr\,d\theta}{\sqrt{1-r^2}}\\ &=\frac{\pi}{2} \left[\sin^{-1}r\right]_{1/2}^{\sqrt3/2} =\boxed{\frac{\pi^2}{12}}. \end{aligned}$$

(iii)

再び $u=x+y$, $v=x-y$ とおくと、

$$\begin{aligned} I_3 &=\frac12\int_0^1\int_{-u}^{u} \frac{v^4}{1+u^6}\,dv\,du\\ &=\frac15\int_0^1\frac{u^5}{1+u^6}\,du =\boxed{\frac{\log2}{30}}. \end{aligned}$$