電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2024年8月実施 必須問題 線形代数

标签：

• University-of-Electro-Communications
• Linear-Transformation
• Kernel-and-Image
• Matrix-Rank
• Subspace-Sum-and-Intersection-Dimension

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$c\in\mathbb R$ とし、

$$A=\begin{pmatrix} 3&-5&2\\ 7&-12&3\\ 1&-2&-1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} -2&3&1\\ 0&3+c&9-c^2\\ -2&3&-8+c^2 \end{pmatrix}$$

とする。$f(x)=Ax$, $g(x)=Bx$ に対し、$A$ の列の一次関係、$\dim\operatorname{Im}f$、$\dim\ker g\ne0$ となる $c$、および $\operatorname{Im}f\cap\ker g$ が非自明となる条件とその基底を求めよ。

题目描述

给定两个含参数矩阵所定义的线性映射，求矩阵列之间的线性关系、像空间维数、核非平凡的参数条件，以及像空间与核的非平凡交空间及其基。

Kai

(1)

$A$ の第 $i$ 列を $a_i$ とすると、

$$\boxed{a_3=9a_1+5a_2}.$$

(2)

$a_1,a_2$ は一次独立であり、(1) より $a_3\in\operatorname{span}\{a_1,a_2\}$ である。したがって、

$$\boxed{\dim\operatorname{Im}f=2}.$$

また、

$$\operatorname{Im}f =\left\{(x,y,z)^{\mathsf T}\in\mathbb R^3 \mid -2x+y-z=0\right\}.$$

(3)

$$\det B=-2(c+3)^2(c-3).$$

よって $\ker g$ が非自明となる条件は

$$\boxed{c=-3,\ 3}.$$

(4)

$c=3$ のとき、

$$\ker g=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right\}.$$

このベクトルは $-2x+y-z=0$ を満たさないので、交わりは $\{0\}$ である。

$c=-3$ のとき、

$$\ker g =\left\{(x,y,z)^{\mathsf T}\mid-2x+3y+z=0\right\}.$$

これと $\operatorname{Im}f$ の方程式を連立すると

$$(x,y,z)=t(1,1,-1).$$

したがって、

$$\boxed{\dim(\operatorname{Im}f\cap\ker g)\ne0 \iff c=-3}.$$

(5)

$c=-3$ のとき、

$$\boxed{ \left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} \right\} }$$

が $\operatorname{Im}f\cap\ker g$ の基底である。