電気通信大学 情報理工学研究科 情報・ネットワーク工学専攻 2023年8月実施 選択問題 確率統計

标签：

• 电气通信大学
• 指数分布
• 矩生成函数
• 极大似然估计
• 次序统计量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

確率変数 $X$ の密度関数を

$$f(x)=\frac1\beta e^{-x/\beta}\quad(x\geq0,\ \beta>0)$$

とする。積率母関数、$\beta_0>0$ に対する $P(X>\beta_0)$、$Z=X\mathbf1_{\{X\ge\beta_0\}}$ の期待値、および $Y=\sqrt X$ の期待値と分散を求めよ。また、独立同分布な標本 $x_1,\ldots,x_n$ から $\beta$ を最尤推定し、$W=\max(X_1,\ldots,X_n)$ の $W>\beta_0$ の下での条件付き密度を求めよ。

题目描述

给定尺度参数为 $\beta$ 的指数分布，求矩生成函数、尾概率、截断变量和平方根变换的矩；再求 $\beta$ 的极大似然估计，以及样本最大值在超过阈值条件下的密度。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \varphi(\theta) &=\int_0^\infty e^{\theta x}\frac1\beta e^{-x/\beta}\,dx\\ &=\boxed{\frac1{1-\beta\theta}} \qquad\left(\theta<\frac1\beta\right). \end{aligned}$$

(2)

$$\boxed{P(X>\beta_0)=\int_{\beta_0}^{\infty}\frac1\beta e^{-x/\beta}\,dx =e^{-\beta_0/\beta}}.$$

(3)

$$\begin{aligned} E[Z] &=\int_{\beta_0}^{\infty}x\frac1\beta e^{-x/\beta}\,dx\\ &=\boxed{(\beta_0+\beta)e^{-\beta_0/\beta}}. \end{aligned}$$

(4)

$$E[Y] =\int_0^\infty\sqrt{x}\frac1\beta e^{-x/\beta}\,dx =\boxed{\frac{\sqrt{\pi\beta}}2}.$$

また $E[Y^2]=E[X]=\beta$ であるから、

$$\boxed{V[Y]=\beta-\frac{\pi\beta}{4} =\frac{4-\pi}{4}\beta}.$$

(5)

尤度は

$$L(\beta)=\beta^{-n} \exp\left(-\frac1\beta\sum_{i=1}^n x_i\right).$$

$\sum_i x_i>0$ のとき、$\partial\log L/\partial\beta=0$ より、

$$\boxed{\widehat\beta=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i}.$$

すべての $x_i$ が $0$ なら、$\beta\downarrow0$ で尤度は発散するため、$\beta>0$ の範囲に最尤推定値は存在しない。

(6)

$w\geq0$ に対して

$$F_W(w)=P(W\leq w)=\left(1-e^{-w/\beta}\right)^n.$$

したがって $w\geq\beta_0$ では、

$$\boxed{ g(w\mid W>\beta_0)= \frac{\dfrac n\beta e^{-w/\beta} \left(1-e^{-w/\beta}\right)^{n-1}} {1-\left(1-e^{-\beta_0/\beta}\right)^n}}$$

であり、$w<\beta_0$ では $g(w\mid W>\beta_0)=0$ である。